6. Frações parciais

b) ∫ 0 2 x 2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 0 2 x 2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Repara que podemos reescrever a fração como:

x 2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x = x 2 - 3 x - 2 x x 2 + 3 x + 2

= x 2 - 3 x - 2 x x + 1 x + 2

Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.

Separando nas frações parciais:

x 2 - 3 x - 2 x x + 1 x + 2 = A x + B x + 1 + C x + 2

Fazendo o mmc:

= A x + 1 x + 2 + B x x + 2 + C x x + 1 x x + 1 x + 2

= A x 2 + 3 A x + 2 A + B x 2 + 2 B x + C x 2 + C x x x + 1 x + 2

Agrupando os semelhantes:

= A + B + C x 2 + 3 A + 2 B + C x + 2 A x x + 1 x + 2

Siiiim... a gente separa pra depois juntar de novo... louco, né? Depois separamos de vez hahaha

Passo 3

Igualando os dois lados:

x 2 - 3 x - 2 x x + 1 x + 2 = A + B + C x 2 + 3 A + 2 B + C x + 2 A x x + 1 x + 2

Temos uma igualdade e tudo que está na frente de x 2 de um lado deve ser igual a o que está na frente de x 2 . A mesma coisa pro x e também pro que não tem x .

Então ficamos com o sistema:

A + B + C = 1 3 A + 2 B + C = - 3 2 A = - 2

Resolvendo o sistema:

A = - 1

B = - 2

C = 4

Agora sim achamos nossas frações parciais:

x 2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x = - 1 x - 2 x + 1 + 4 x + 2

Passo 4

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ 0 2 x 2 - 3 x - 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x d x = ∫ 0 2 - 1 x - 2 x + 1 + 4 x + 2 d x

= ∫ 0 2 - 1 x d x + ∫ 0 2 - 2 x + 1 d x + ∫ 0 2 4 x + 2 d x

= - ∫ 0 2 1 x d x - 2 ∫ 0 2 1 x + 1 d x + 4 ∫ 0 2 1 x + 2 d x

Resolvendo:

= - ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 1 + 4 ln ⁡ x + 2

OBS: bem provável que o intervalo de integração não esteja correto porque quando a gente fosse substituir o x = 0 , ficaríamos com ln ⁡ 0 , mas isso não existe, né?

Resposta

- ln ⁡ x - 2 ln ⁡ x + 1 + 4 ln ⁡ x + 2

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