6. Frações parciais

c) ∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x d x .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Repara que podemos reescrever a fração como:

x 2 + 2 x - 1 x 3 - x = x 2 + 2 x - 1 x x 2 - 1

= x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1

Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado �� menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.

Separando nas frações parciais:

x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 = A x + B x - 1 + C x + 1

Fazendo o mmc:

= A x - 1 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 1 x x - 1 x + 1

= A x 2 - A + B x 2 + B x + C x 2 - C x x x - 1 x + 1

Agrupando os semelhantes:

= A + B + C x 2 + B - C x - A x x - 1 x + 1

Siiiim... a gente separa pra depois juntar de novo... louco, né? Depois separamos de vez hahaha

Passo 3

Igualando os dois lados:

x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 = A + B + C x 2 + B - C x - A x x - 1 x + 1

Temos uma igualdade e tudo que está na frente de x 2 de um lado deve ser igual a o que está na frente de x 2 . A mesma coisa pro x e também pro que não tem x .

Então ficamos com o sistema:

A + B + C = 1 B - C = 2 - A = - 1

Resolvendo o sistema:

A = 1

B = - 1

C = 1

Agora sim achamos nossas frações parciais:

x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 = 1 x + - 1 x - 1 + 1 x + 1

Passo 4

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 d x = ∫ 1 x + - 1 x - 1 + 1 x + 1 d x

= ∫ 1 x d x - ∫ 1 x - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x

Resolvendo:

= ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

ln ⁡ x - ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x + 1 + C

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