6. Frações parciais

g) ∫ 3 1 - x - 2 x 2 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 3 1 - x - 2 x 2 d x .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Repara que podemos fatorar o denominador da fração:

∫ 3 1 - x - 2 x 2 d x = ∫ 3 x + 1 1 - 2 x d x

Separando em frações parciais:

3 x + 1 1 - 2 x = A x + 1 + B 1 - 2 x

Fazendo o mmc:

= A 1 - 2 x + B x + 1 x + 1 1 - 2 x

= A - 2 A x + B x + B x + 1 1 - 2 x

= - 2 A + B x + A + B x + 1 1 - 2 x

Passo 3

Igualando os dois lados:

3 x + 1 1 - 2 x = - 2 A + B x + A + B x + 1 1 - 2 x

Então ficamos com o sistema:

- 2 A + B = 0 A + B = 3

Resolvendo o sistema:

A = 2

B = 1

Agora sim achamos nossas frações parciais:

3 x + 1 1 - 2 x = 2 x + 1 + 1 1 - 2 x

Passo 4

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ 3 x + 1 1 - 2 x d x = ∫ 2 x + 1 + 1 1 - 2 x d x

= ∫ 2 x + 1 d x + ∫ 1 1 - 2 x d x

Resolvendo (lembrando que precisa usar substituição simples pra resolver a segunda integra:

= 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - 2 x

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - 2 x + C

Resposta

2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ln ⁡ 1 - 2 x + C

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