Frações parciais mais complicadas, comprimento de arco e volume

Encontre a decomposição em frações parciais da integral ∫ x - 2 d x x - 1 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2

Passo 1

Falaii galerinha, bora lá

Para encontrar a decomposição em frações parciais da integral ∫ x - 2 d x x - 1 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2 , primeiro precisamos fatorar o denominador em fatores irreduzíveis e, em seguida, encontrar as frações parciais correspondentes.

Vamos fatorar o denominador primeiro:

x - 1 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2

Para simplificar o processo de decomposição em frações parciais, podemos usar o fato de que x - 1 3 é uma raiz tripla e que ( x 2 + x + 1 ) é irreduzível sobre os números reais. Portanto, podemos começar decompondo o denominador da seguinte maneira:

x - 2 d x x - 1 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2 = A x - 1 + B x - 1 2 + C x - 1 3 + D x + E ( x 2 + x + 1 ) + F x + G ( x 2 + x + 2 ) + H x + I x 2 + x + 2 2

Agora, vamos encontrar os valores de ( A ) ,   ( B ) ,   ( C ) ,   ( D ) ,   ( E ) ,   ( F ) ,   ( G ) ,   ( H ) ,   e   ( I ) .

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 1 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2 ) para eliminar os denominadores:

x   -   2   =   A x - 1 2   x 2 + x + 2 2 +   B x - 1 x 2 + x + 2 2 +   C x 2 + x + 2 2 +   D x   +   E x - 1 3   x 2 + x + 2 2 +   F x   +   G x - 1 3   x 2 + x + 1 +   H x   +   I x - 1 3

Agora, vamos encontrar os valores de ( A ) ,   ( B ) ,   ( C ) ,   ( D ) ,   ( E ) ,   ( F ) ,   ( G ) ,   ( H ) ,   e   ( I ) resolvendo essa equação para x

Para encontrar A   multiplicamos ambos os lados por ( x - 1 2 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2 )

e avaliamos em x = 1 , pois isso eliminará todos os outros termos:

( A   =   1   -   2 =   - 1 )

Passo 3

Agora, para encontrar B , multiplicamos ambos os lados por x - 1 x 2 + x + 2 2 e avaliamos em x = 1 :

( B   =   1   -   2 =   - 1 )

Para encontrar C multiplicamos ambos os lados por x 2 + x + 2 2 e avaliamos em ( x   =   1 ) :

( C   =   1   -   2 =   - 1 )

Para encontrar D   e   E , multiplicamos ambos os lados por x - 1 3   x 2 + x + 2 2 e depois expandimos e agrupamos os termos relevantes:

D x   +   E   =   x   -   2   -   - 1 x - 1 2   x 2 + x + 2 2 -   - 1 x - 1 x 2 + x + 2 2   -   - 1 x 2 + x + 2 2

Agora, podemos simplificar:

D x   +   E   =   x   -   x - 1 2   x 2 + x + 2 2 -   x - 1 x 2 + x + 2 2   -   x 2 + x + 2 2

Passo 4

Avaliamos isso em ( x   =   1 ) :

( D   +   E   =   1   -   1 - 1 2 1 2 + 1 + 2 2 -   1 - 1 1 2 + 1 + 2 2 -   1 2 + 1 + 2 2 )

( D   +   E   =   1   -   0   -   0   -   9   =   - 8 )

Agora, para encontrar F   e   G , multiplicamos ambos os lados por ( x - 1 3   x 2 + x + 1 )   e depois expandimos e agrupamos os termos relevantes:

( F x   +   G   =   x   -   2   -   - 1 x - 1 3   x 2 + x + 2 2 -   - 1 x - 1 3   x 2 + x + 2 2 -   - 1 x - 1 3 )

Simplificamos:

( F x   +   G   =   x   -   x - 1 3   x 2 + x + 2 2 -   x - 1 3   x 2 + x + 2 2 +   x - 1 3 )

Passo 5

Avaliamos isso em x = 1

F   +   G   =   1   -   1 - 1 3   1 2 + 1 + 2 2 -   1 - 1 3   1 2 + 1 + 2 2 +   1 - 1 3

( F   +   G   =   1   -   0   -   0   +   0   =   1 )

Finalmente, para encontrar H   e   I , multiplicamos ambos os lados por ( x - 1 3 ) e depois expandimos e agrupamos os termos relevantes:

( H x   +   I   =   x   -   2   -   - 1 x - 1 2   x 2 + x + 2 2 -   - 1 x - 1 x 2 + x + 2 2 -   - 1 x 2 + x + 2 2 -   - 1 x - 1 3   x 2 + x + 1 )

Passo 6

Simplificamos:

( H x   +   I   =   x   -   x - 1 2   x 2 + x + 2 2 -   x - 1 x 2 + x + 2 2 -   x 2 + x + 2 2 -   x - 1 3   x 2 + x + 1 )

Avaliamos isso em x = 1

( H   +   I   =   1   -   1 - 1 2   1 2 + 1 + 2 2 -   1 - 1 1 2 + 1 + 2 2 -   1 2 + 1 + 2 2 -   1 - 1 3   1 2 + 1 + 1 )

( H   +   I   =   1   -   0   -   0   -   9   -   0   =   - 8 )

Passo 7

Agora, temos os valores de todos os coeficientes ( A ) ,   ( B ) ,   ( C ) ,   ( D ) ,   ( E ) ,   ( F ) ,   ( G ) ,   ( H ) , e ( I ) .

Portanto, a decomposição em frações parciais da integral original é:

x - 2 d x x - 1 3 x 2 + x + 1 x 2 + x + 2 2 = - 1 x - 1 - 1 x - 1 2 - 1 x - 1 3 + - 8 x + 8 x 2 + x + 1 + 1 x 2 + x + 2 - 8 x + 8 x 2 + x + 2 2

Essa é a decomposição em frações parciais da integral fornecida.

Resposta

Vide a explicação.

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