6. Frações parciais

e) Obtenha uma primitiva G x para a função racional f x = 2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 , onde ≠ 0 , e G satisfaz G 1 = 0 .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos achar uma primitiva G x para a função racional f x = 2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 , onde ≠ 0 , e G satisfaz G 1 = 0 .

Pra isso calculamos ∫ 2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 d x e depois achamos a constante da integral indefinida usando G 1 = 0 .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.

Separando das frações parciais:

2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 = A x + B x 2 + C x + D x 2 - 2 x + 2

Fazendo o mmc:

= A x + B x 2 - 2 x + 2 + C x + D x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2

= A x 3 - 2 A x 2 + 2 A x + B x 2 - 2 B x + 2 B + C x 3 + D x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2

= ( A + C ) x 3 + - 2 A + B + D x 2 + 2 A - 2 B x + 2 B x 2 x 2 - 2 x + 2

Passo 3

Igualando os dois lados:

2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 = A x 3 + - 2 A + B x 2 + 2 A - 2 B x + 2 B x 2 x 2 - 2 x + 2

Então ficamos com o sistema:

A + C = 0 - 2 A + B + D = - 1 2 A - 2 B = 2 2 B = 2

Resolvendo o sistema:

A = 2

B = 1

C = - 2

D = 2

Agora sim achamos nossas frações parciais:

2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 = 2 x + 1 x 2 + ( - 2 ) x + 2 x 2 - 2 x + 2

Passo 4

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ 2 + 2 x - x 2 x 2 x 2 - 2 x + 2 d x = ∫ 2 x + 1 x 2 + ( - 2 ) x + 2 x 2 - 2 x + 2 d x

= ∫ 2 x + 1 x 2 d x + ∫ ( - 2 ) x + 2 x 2 - 2 x + 2 d x

= ∫ 2 x x 2 d x + ∫ 1 x 2 d x - ∫ 2 x - 2 x 2 - 2 x + 2 d x

Resolvendo (todas saem por substituição simples):

= ln ⁡ x 2 - 1 x - ln ⁡ x 2 - 2 x + 2

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

G x = ln ⁡ x 2 - 1 x - ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 + C

Passo 5

Como foi dada uma condição, que é G 1 = 0 , então podemos achar essa constante:

G 1 = ln ⁡ 1 2 - 1 1 - ln ⁡ 1 2 - 2 1 + 2 + C

0 = ln ⁡ 1 2 - 1 1 - ln ⁡ 1 2 - 2 1 + 2 + C

0 = 0 - 1 - 0 + C

C = 1

Então:

G x = ln ⁡ x 2 - 1 x - ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 + 1

Resposta

G x = ln ⁡ x 2 - 1 x - ln ⁡ x 2 - 2 x + 2 + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2d y
Calcule.int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x
Calcule a integralint (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x