6. Frações parciais

f) ∫ 1 tan ⁡ x - 1 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 1 tan ⁡ x - 1 d x .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Dessa vez não temos tão evidente assim os polinômios na parte de baixo, maaas quando temos alguma função trigonométrica na parte de baixo da fração, usamos a substituição:

u = tan ⁡ x 2

E fazemos a mágica de aparecer esse tan ⁡ x 2 .

Como temos tan ⁡ x , podemos usar a relação de tan ⁡ 2 a :

tan ⁡ 2 a = 2 tan ⁡ a 1 - tan 2 ⁡ a

Mas 2 a = x , então:

tan ⁡ x = 2 tan ⁡ x 2 1 - tan 2 ⁡ x 2

Passo 3

Substituindo na integral:

  ∫ 1 tan ⁡ x - 1 d x =   ∫ 1 2 tan ⁡ x 2 1 - tan 2 ⁡ x 2 - 1 d x

= ∫ 1 2 tan ⁡ x 2 - 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 - tan 2 ⁡ x 2 d x

= ∫ 1 - tan 2 ⁡ x 2 2 tan ⁡ x 2 - 1 - tan 2 ⁡ x 2 d x

Usando a substituição:

u = tan ⁡ x 2

Derivando:

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x

Usando a igualdade sec 2 ⁡ x 2 = 1 + tan 2 ⁡ x 2 :

d u = 1 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 d x

d x = 2 1 + u 2 d u

Então:

∫ 1 - tan 2 ⁡ x 2 2 tan ⁡ x 2 - 1 - tan 2 ⁡ x 2 d x = ∫ 1 - u 2 2 u - 1 - u 2 2 1 + u 2 d u

Arrumando, ficamos com:

= ∫ 2 1 - u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2 d u

Passo 4

Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.

Separando nas frações parciais:

2 1 - u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2 = A u + B 2 u - 1 + u 2 + C u + D 1 + u 2

Fazendo o mmc:

= A u + B 1 + u 2 + C u + D 2 u - 1 + u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2

= A u + A u 3 + B + B u 2 + 2 C u 2 - C u + C u 3 + 2 D u - D + D u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2

Agrupando os semelhantes:

= A + C u 3 + B + C + D u 2 + A - C + 2 D u + B - D 2 u - 1 + u 2 1 + u 2

Siiiim... a gente separa pra depois juntar de novo... louco, né? Depois separamos de vez hahaha

Passo 5

Igualando os dois lados:

2 - 2 u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2 = A + C u 3 + B + C + D u 2 + A - C + 2 D u + B - D 2 u - 1 + u 2 1 + u 2

Temos uma igualdade e tudo que está na frente de u 3 de um lado deve ser igual a o que está na frente de u 3 . A mesma coisa pro u 2 ,   pro u e também pro que não tem u .

Então ficamos com o sistema:

A + C = 0 B + C + D = - 2 A - C + 2 D = 0 B - D = 2

Resolvendo o sistema:

A = 1

B = 1

C = - 1

D = - 1

Agora sim achamos nossas frações parciais:

2 - 2 u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2 = u + 1 2 u - 1 + u 2 + ( - u - 1 ) 1 + u 2

Passo 6

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ 2 - 2 u 2 2 u - 1 + u 2 1 + u 2 d u = ∫ u + 1 2 u - 1 + u 2 + ( - u - 1 ) 1 + u 2 d u

= ∫ u + 1 2 u - 1 + u 2 d u - ∫ u + 1 1 + u 2 d u

Resolvendo:

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 2 u - 1 - 1 2 u 2 + 1 - arctan ⁡ u

Substituindo u = tan ⁡ x 2 :

= 1 2 ln ⁡ tan 2 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 - 1 - 1 2 tan 2 ⁡ x 2 + 1 - arctan ⁡ tan ⁡ x 2

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= 1 2 ln ⁡ tan 2 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 - 1 - 1 2 tan 2 ⁡ x 2 + 1 - arctan ⁡ tan ⁡ x 2 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ tan 2 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 - 1 - 1 2 tan 2 ⁡ x 2 + 1 - arctan ⁡ tan ⁡ x 2 + C

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