Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 d x é igual a:

  1. - ln ⁡ 16 + 2 ln ⁡ 12   + ln ⁡ 10 - ln ⁡ 6
  2. - ln ⁡ 16 + ln ⁡ 12   + ln ⁡ 10 - ln ⁡ 6
  3. - ln ⁡ 16 + ln ⁡ 12   + ln ⁡ 10 - 2 ln ⁡ 6
  4. - 2 ln ⁡ 16 + ln ⁡ 12   + ln ⁡ 10 - ln ⁡ 6

Passo 1

Reescrever a integral usando frações parciais

Essa integral tem um denominador que é um polinômio de segundo grau. Por algum motivo doido, a questão foi boazinha e já colocou o polinômio numa forma que podemos trabalhar. Se não sacou, da uma olhada:

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 = ∫ 7 11 A x + 5 d x + ∫ 7 11 B x - 1 d x

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 = A . ln ⁡ x + 5 x = 7 x = 11 + B . ln ⁡ x - 1 x = 7 x = 11

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 = A . ln ⁡ 16 - A . ln ⁡ 12 + B . ln ⁡ 10 - B . ln ⁡ 6

O truque agora vai ser achar quem é A e quem é B , porque a integral:

∫ a x + b d x = a ln ⁡ x + b + C

Como feito acima, tem resolução direta!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo a questão por eliminação

Mas olha só, na real, a gente nem precisa partir pra encontrar A e B , por frações parciais, porque podemos já excluir as letras a ) e c ) e d ) .

Pois é meu caro e minah cara. Não é a toa que essa questão é de múltipla escolha! Pra gente ir excluindo as opções impossíveis, vamos ficar de olho no modelo da resposta:

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 = A . ln ⁡ 16 - A . ln ⁡ 12 + B . ln ⁡ 10 - B . ln ⁡ 6

Na a ) , se olharmos direitinho, vamos ver que ela ta falando que A = - 1 = - 2 . Na letra c ) ta sendo dito que B = 1 = 2 . E na letra d ) temos que A = - 2 = - 1 .Como isso, bem, não rola, essas duas opções já podemos excluir, sobrando a letra b )

Passo 3

Maaas, pra quem não quer dar uma de malandro

Tem sempre a opção em que a gente faz conta. Vamos ter então:

6 x + 5 x - 1 = A x + 5 + B x - 1

Realizando a metodologia de frações parciais, vamos primeiro precisar igualar os denominadores dos dois lados da equação:

6 x + 5 x - 1 = A x - 1 x + 5 x - 1 + B x + 5 x + 5 x - 1

Ignorando o denominador e aplicando a distributiva, ficamos com:

6 = A x - A + B x + 5 B

Escrevendo os dois lados como um polinômio de primeira ordem

0 x + 6 = A + B x + 5 B - A

Com isso, podemos fazer um sistema de equações se igualarmos o que está dentro dos colchetes. Partiu então:

A + B = 0 - A + 5 B = 6

Somando as duas equações:

A - A + B + 5 B = 6

6 B = 6

B = 1

E logo

A = - 1

E nossa integral fica então:

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 = - ln ⁡ 16 + ln ⁡ 12 + ln ⁡ 10 - ln ⁡ 6

Que, adivinha, é a própria letra b )  

Resposta

L e t r a   B

∫ 7 11 6 x + 5 x - 1 = - ln ⁡ 16 + ln ⁡ 12 + ln ⁡ 10 - ln ⁡ 6

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