A integral ∫ d x 1 + 3 cos ⁡ x + 4 sin ⁡ x   é equivalente a uma cerca integral de uma função racional. Qual é esta integral?

Passo 1

Bora resolver mais uma?

Para encontrar a integral da função ∫ d x 1 + 3 cos ⁡ x + 4 sin ⁡ x   você pode usar a técnica de substituição trigonométrica. Neste caso, é útil usar a identidade trigonométrica ( 1   +   \ s i n 2 x =   \ c o s 2 x )

Vamos seguir os passos:

Comece reescrevendo a expressão:

1 + 3 c o s x + 4 s i n x =   1 + c o s 2 x +   2 c o s x +   4 s i n x - c o s 2 x

=   1 + c o s x 2   +   4 s i n x -   c o s 2 x

Agora, faça a substituição u   =   1   +   c o s ( x ) ,   e n t ã o   d u   =   - s i n ( x ) d x .

Reescreva a integral em termos de u

∫ d x 1 + 3 cos ⁡ x + 4 sin ⁡ x   =   - ∫ d u u 2 - cos 2 ⁡ x  

=   - ∫ d u u 2 - 1 - sin 2 ⁡ x

=   - ∫ d u u 2 - 1 + sin 2 ⁡ x  

Passo 2

Agora, utilize a identidade trigonométrica s i n 2 x =   1 - c o s 2 x para simplificar o denominador:

- ∫ d u u 2 - 1 + 1 - cos 2 ⁡ x  

=   - ∫ d u u 2 - cos 2 ⁡ x  

A integral resultante é uma integral de uma função racional. Agora, você pode fazer uma substituição final, usando v = tan ⁡ ( x / 2 ) que levará a uma integral de uma função racional simples.

Passo 3

Lembre-se de que s i n ( x )   =   2 v / ( 1 + v 2 ) e c o s ( x )   = ( 1 - v 2 ) / ( 1 + v 2 )

E também d x   = 2 d v / ( 1 + v 2 )

Substituindo, obtemos:

- ∫ d u u 2 - cos 2 ⁡ x =   - ∫ d u u 2 - 1 - v 2 1 + v 2 2

Passo 4

Agora, você pode resolver esta integral, que é uma integral de uma função racional em v .

A técnica específica depende do grau do polinômio no denominador. Se necessário, você pode usar a decomposição em frações parciais para simplificar ainda mais.

Depois de encontrar a integral em v ,   lembre-se de voltar à variável original x usando a substituição v   =   t a n ( x / 2 ) e substituir de volta u   =   1   +   c o s ( x ) para obter a resposta final.

A solução completa dependerá do grau do polinômio no denominador e pode ser um pouco longa e envolvida. Se você tiver um grau específico em mente ou precisar de mais assistência com uma etapa específica, por favor, avise-me para que eu possa fornecer informações adicionais.

Resposta

Vide a explicação

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