Questão 3

Calcule a integral

∫ 2 x + 4 x 3 - 2 x 2 d x

Passo 1

Bom galera, questão de integral... vem comigo que a gente mata essa juntos!

Nessa integral, temos uma fração composta por dois polinômios. Portanto, temos aí um bom indicativo de que iremos resolve-la por frações parciais!

Repare que o denominador dessa fração está dado como:

x 3 - 2 x 2

O primeiro passo é colocar o que der em evidência e reescrever esse denominador. Vamos colocar o x 2 em evidência:

x 2 x - 2

Dessa forma, nós temos um termo de primeiro grau que se repete x 2 = x x , portanto teremos: A x + B x 2 e um termo de primeiro grau que é x - 2 onde teremos: C x - 2 , de forma que ficamos com:

2 x + 4 x 2 x - 2 = A x + B x 2 + C x - 2

Passo 2

Para encontrar as constantes A ,   B e C , vamos resolver o MMC do lado direito da equação.

A x + B x 2 + C x - 2 = A x x - 2 + B x - 2 + C x 2 x 2 x - 2

E igualamos isso ao que tínhamos no lado esquerdo da equação:

2 x + 4 x 2 x - 2 = A x x - 2 + B x - 2 + C x 2 x 2 x - 2

Portanto, temos que:

2 x + 4 = A x x - 2 + B x - 2 + C x 2

De forma que:

2 x + 4 = A x 2 - 2 A x + B x - 2 B + C x 2

O macete aqui é organizar todo mundo do lado direito, juntando quem está com x 2 , quem está com x e quem está sozinho.

2 x + 4 = A + C x 2 + B - 2 A x + - 2 B

Para que essa igualdade seja satisfeita é necessário que:

A + C = 0 - 2 A + B = 2 - 2 B = 4

Passo 3

Olhando para o sistema que montamos, vemos de cara que:

- 2 B = 4

B = - 2

Substituindo isso na segunda equação do sistema, temos:

- 2 A + - 2 = 2

- 2 A = 4

A = - 2

E por fim, substituindo na primeiro equação do sistema, temos:

A + C = 0

- 2 + C = 0

C = 2

Assim, nossa integral fica sendo:

∫ 2 x + 4 x 3 - 2 x 2 d x = ∫ - 2 x - 2 x 2 + 2 x - 2 d x  

Passo 4

Podemos abrir a soma dentro da integral em uma soma de integrais, e também podemos tirar as constantes do interior da integral.

= - 2 ∫ 1 x d x - 2 ∫ 1 x 2 d x + 2 ∫ 1 x - 2 d x

Aqui podemos usar as seguintes relações:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

∫ 1 x - a d x = ln ⁡ x - a + C

∫ 1 x 2 d x = ∫ x - 2 d x = x - 1 - 1 = - 1 x + C

Portanto, teremos:

= - 2 ln ⁡ x + 2 x + 2 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ 2 x + 4 x 3 - 2 x 2 d x = - 2 ln ⁡ x + 2 x + 2 ln ⁡ x - 2 + C

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