Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Questão 2: Calcule a seguinte integral:

∫ 5 x 2 - 3 x + 2 x 3 - x 2 d x

Passo 1

Hummm, que integral interessante! Temos uma fração de polinômios onde o grau do denominador é maior que o grau do polinômio do nominador... Ora, integração por frações parciais :D

Antes de encontrar as frações parciais, vamos só fazer uma coisinha aqui...

∫ 5 x 2 - 3 x + 2 x 3 - x 2 d x = ∫ 5 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 d x

Sacou? Colocamos em função de produto, pois pra fração parcial precisamos disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então buscar as tais frações parciais, que nesse caso pela teoria, como temos um termo do primeiro grau elevado a uma potência, devem ser essas três funções aqui:

5 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 = A x + B x 2 + C x - 1

Veja que o nosso maior trabalho então é basicamente descobrir quem é esse A , B e C . Então vem comigo!

Passo 3

Tirando o " M M C " desses denominadores, lembrando que o M M C de funções é basicamente o produto deles, mas com o detalhe de que se tiver um termo com potência maior, pegamos só ele...

A x + B x 2 + C x - 1 =   x 2 x - 1 =

Para encontrar o nominador, basta seguir o processo normal de soma de fração, ou seja, divide o M M C pelo de baixo e multiplica pelo de cima...

A x + B x 2 + C x - 1 = A x x - 1 + B x - 1 + C x 2 x 2 x - 1

Como

5 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 = A x + B x 2 + C x - 1

Então...

5 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 = A x x - 1 + B x - 1 + C x 2 x 2 x - 1

Cortando os denominadores que são exatamente iguais (e sempre deverão ser ;0):

5 x 2 - 3 x + 2 = A x x - 1 + B x - 1 + C x 2   →

5 x 2 - 3 x + 2 = A x 2 - A x + B x - B + C x 2 →

Reagrupando esse lado direito colocando em ordem...

5 x 2 - 3 x + 2 = A + C x 2 + B - A x - B

Veja que por igualdade de polinômio, podemos afirmar que...

- B = 2 B - A = - 3 A + C = 5       ⇒

B = - 2       e n t ã o

- 2 - A = - 3         →             A = 1

1 + C = 5                     →           C = 4

Logo...

5 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 = 1 x + - 2 x 2 + 4 x - 1

∫ 5 x 2 - 3 x + 2 x 3 - x 2 d x = ∫ 1 x + - 2 x 2 + 4 x - 1 d x

Agora é só calcular essas integrais. Veja só!

Passo 4

∫ 5 x 2 - 3 x + 2 x 3 - x 2 d x = ∫ 1 x d x - 2 ∫ 1 x 2 d x + 4 ∫ 1 x - 1 d x =

ln ⁡ x - 2 - 1 x + 4 ln ⁡ x - 1 + C

Resposta

ln ⁡ x - 2 - 1 x + 4 ln ⁡ x - 1 + C

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