1.3 Resolva ∫ 4 + 5 x + 2 x 2 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ 4 + 5 x + 2 x 2 x 3 + x 2 + x - 3 d x .

Do jeito que está vai ser beeem complicado ou até impossível de resolver, né?

Então vamos usar alguma técnica de resolução. O polinômio de baixo é 3, mas só sabemos resolver até grau 2, né?? Então vamos arrumar uma forma de diminuir esse grau.

Vamos fatorar e depois usamos frações parciais.

Passo 2

Fatorando o polinômio de baixo, ficamos com:

x 3 + x 2 + x - 3 = x - 1 x 2 + 2 x + 3

Então vamos dividir em frações parciais:

4 + 5 x + 2 x 2 x 3 + x 2 + x - 3 = A x - 1 + B x + C x 2 + 2 x + 3

Fazendo o MMC, pra achar os valores de A ,   B ,   C .

4 + 5 x + 2 x 2 = A x 2 + 2 x + 3 + B x + C x - 1

4 + 5 x + 2 x 2 = A x 2 + 2 A x + 3 A + B x 2 - B x + C x - C

4 + 5 x + 2 x 2 = A + B x 2 + 2 A - B + C x + 3 A - C

E podemos montar o sistema:

A + B = 2 2 A - B + C = 5 3 A - C = 4

Resolvendo o sistema, achamos:

A = 11 6

B = 1 6

C = 3 2

Então teremos, em frações parciais:

4 + 5 x + 2 x 2 x 3 + x 2 + x - 3 = ( 11 / 6 ) x - 1 + ( 1 / 6 ) x + ( 3 / 2 ) x 2 + 2 x + 3

= 11 6 1 x - 1 + 1 6 x + 9 x 2 + 2 x + 3

Passo 3

Voltando pra integral:

∫ 4 + 5 x + 2 x 2 x 3 + x 2 + x - 3 d x = ∫ 11 6 1 x - 1 d x + ∫ 1 6 x + 9 x 2 + 2 x + 3 d x

= 11 6 ∫ 1 x - 1 d x + 1 6 ∫ x + 9 x 2 + 2 x + 3 d x

Vamos resolver a primeira integral:

11 6 ∫ 1 x - 1 d x

Usando substituição simples:

u = x - 1

d u = d x

Então:

11 6 ∫ 1 x - 1 d x = 11 6 ∫ 1 u d u

= ln ⁡ u

Mas u = x - 1 , então:

11 6 ∫ 1 x - 1 d x = 11 6 ln ⁡ x - 1

Passo 4

Agora calculando a segunda integral:

1 6 ∫ x + 9 x 2 + 2 x + 3 d x

E vamos dividir em duas integrais, mas de forma esperta. Repara que a derivada da parte de baixo é 2 x + 2 = 2 x + 1 ... Então que tal dividirmos a parte de cima em x + 1 + 8 . Ficaria bonito, não acha?

1 6 ∫ x + 9 x 2 + 2 x + 3 d x = 1 6 ∫ x + 1 + 8 x 2 + 2 x + 3 d x

= 1 6 ∫ x + 1 x 2 + 2 x + 3 d x + 1 6 ∫ 8 x 2 + 2 x + 3 d x

Resolvendo a integral 1 6 ∫ x + 1 x 2 + 2 x + 3 d x . Vamos usar substituição simples:

u = x 2 + 2 x + 3

d u = 2 x + 2 d x → x + 1 d x = d u 2

A integral fica:

1 6 ∫ x + 1 x 2 + 2 x + 3 d x = 1 6 ∫ 1 u d u 2  

= 1 2 ln ⁡ u

Como u = x 2 + 2 x + 3 , então:

1 6 ∫ x + 1 x 2 + 2 x + 3 d x = 1 12 ln ⁡ x 2 + 2 x + 3

Passo 5

Calculando a integral ∫ 8 x 2 + 2 x + 3 d x . Vamos fazer manipulações pra aparecer algo como 1 t 2 + 1 ...

1 6 ∫ 8 x 2 + 2 x + 3 d x = 4 2 ∫ 1 x 2 + 2 x + 3 d x

Completando quadrados:

= 4 3 ∫ 1 x 2 + 2 x + 1 + 2 d x

= 4 3 ∫ 1 x + 1 2 + 2 d x

Colocando o 2 em evidência pra aparecer o “1”:

= 4 3 ∫ 1 2 x + 1 2 2 + 1 d x

= 2 3 ∫ 1 x + 1 2 2 + 1 d x

Passando o 2 pra dentro do quadrado:

= 2 3 ∫ 1 x + 1 2 2 + 1 d x

Agora fazendo uma substituição simples:

t = x + 1 2

d t = 1 2 d x → d x = 2 d u

A integral fica:

2 3 ∫ 1 x + 1 2 2 + 1 d x = 2 3 ∫ 1 t 2 + 1 2 d x

= 2 2 3 ∫ 1 t 2 + 1 d x

= 2 2 3 arctan ⁡ t

Mas, como t = x + 1 2 , então:

1 6 ∫ 8 x 2 + 2 x + 3 d x = 2 2 3 arctan ⁡ x + 1 2

Agora é só juntar tudo pra char a resposta e lembrar de adicionar a constante no final, já que é uma integral indefinida.

∫ 4 + 5 x + 2 x 2 x 3 + x 2 + x - 3 d x = 11 6 ln ⁡ x - 1 + 1 12 ln ⁡ x 2 + 2 x + 3 + 2 2 3 arctan ⁡ x + 1 2 + C

Resposta

11 6 ln ⁡ x - 1 + 1 12 ln ⁡ x 2 + 2 x + 3 + 2 2 3 arctan ⁡ x + 1 2 + C

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