Resolva até onde conseguir a integral ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + sin ⁡ x d x . (Pelo menos transforme-a numa integral de uma função racional e use a decomposição em frações parciais.)

Passo 1

Para resolver a integral ∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + sin ⁡ x d x usando a decomposição em frações parciais, primeiro precisamos encontrar a decomposição em frações parciais da função integranda.

Começamos por fatorar o denominador:

1   +   c o s ( x )   +   s i n ( x )

Agora, usaremos uma técnica chamada "adição e subtração de uma quantidade conveniente" para simplificar a função e encontrar a decomposição em frações parciais. Adicionamos e subtraímos

1   -   s i n ( x ) :

1   +   c o s ( x )   +   s i n ( x )   =   1   -   s i n ( x )   +   c o s ( x )   +   s i n ( x )

Agora, podemos separar essa fração em duas partes:

1   -   s i n x +   c o s x +   s i n x 1   +   c o s x +   s i n x   =   1   -   s i n x +   c o s x 1   +   c o s x +   s i n x   +   s i n x 1   +   c o s x +   s i n x

Agora, temos duas frações que podemos decompor em frações parciais:

∫ 0 π / 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + sin ⁡ x d x   =   ∫ 0 π 2 1   -   s i n x +   c o s x 1   +   c o s x +   s i n x   d x   +   ∫ 0 π 2 s i n x 1   +   c o s x +   s i n x   d x    

Passo 2

Vamos resolver essas duas integrais separadamente.

Integral da primeira fração:

Para a primeira fração, podemos usar a substituição trigonométrica:

Substituição: t   =   t a n ( x / 2 )

Isso nos leva a:

s i n x = 2 t 1   +   t 2

c o s x = 1   -   t 2 1   +   t 2

Passo 3

E também:

d x   = 2 d t 1   +   t 2

Agora, substituímos essas expressões na primeira integral:

∫ 0 π 2   1   -   s i n x +   c o s x 1   +   c o s x +   s i n x d x

=   ∫ 0 π 2 1   - 2 t 1   +   t 2 +   1   -   t 2 1   +   t 2 1   +   1   -   t 2 1   +   t 2 +   2 t 1   +   t 2 * 2 d t 1   +   t 2

Agora, simplificamos essa expressão:

=   2 ∫ 0 π 2 1   -   2 t   +   1   -   t 2 1   +   1   -   t 2 +   2 t   * 2 d t 1   +   t 2

=   2 ∫ 0 π 2 2   -   2 t   -   t 2 2   -   t 2   * 2 d t 1   +   t 2

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

=   2 ∫ 0 π 2 2   -   2 t   -   t 2 2   -   t 2   * 2 d t 1   +   t 2

Passo 4

Agora, podemos decompor essa fração em frações parciais. Primeiro, dividimos 2   -   2 t   -   t 2 pelo denominador 2   -   t 2 :

2   -   2 t   -   t 2 2   -   t 2   =   A   + B 2   -   t 2 2   -   t 2

Agora, cancelamos os termos:

2   -   2 t   -   t 2   =   A ( 2   -   t 2 )   +   B ( 2   -   t 2 )

Agora, podemos encontrar os valores de A e B. Vamos simplificar essa equação:

2   -   2 t   -   t 2 =   2 A   -   A t 2   +   2 B   -   B t 2

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

2 A   +   2 B   =   2

- A   -   B   =   - 2

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema de equações. Primeiro, multiplicamos a segunda equação por - 1 :

A   +   B   =   2

Agora, somamos essa equação à primeira:

2 A   +   A   +   B   +   B   =   2   + �� 2

3 A   +   2 B   =   4

Agora, podemos resolver para A e B:

A   = 4   -   2 B 3

B   = 2 A   -   4 2

Agora, substituímos esses valores na integral:

2 ∫ 0 π 2 2   -   2 t   -   t 2 2   -   t 2   * 2 d t 1   +   t 2

=   2 ∫ 0 π 2 A   + B 2   -   t 2 2   -   t 2   * 2 d t 1   +   t 2

=   2 ∫ 0 π 2 4   -   2 B 3 + 2 A   -   4 2 * 2 d t 1   +   t 2

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

=   2 4   -   2 B 3 + 2 A   -   4 2   *   [ 2 a r c t a n ( t ) ]   |   d e   0   t o   π / 2

A integral de 2 a r c t a n ( t )   d e   0   a   π / 2   é   π , então podemos simplificar ainda mais:

=   2 4   -   2 B 3   + 2 A   -   4 2   *   π

Agora, podemos substituir os valores de A e B que encontramos anteriormente:

A   = 4   -   2 B 3

B   = 2 A   -   4 2

Passo 7

Substituindo esses valores:

=   2 4   -   2 2 A   -   4 2 3 + 2 A   -   4 2   *   π

Agora, simplificamos:

=   2 4   -   2 A   -   4 3 + 2 A   -   4 2   *   π

=   2 8   -   2 A 3 + 4 A   -   8 2   *   π

Agora, somamos os termos:

=   2 8   -   2 A 3 + 6 A   -   8 6   *   π

=   2 16   -   4 A   +   18 A   -   24 6   *   π

=   2 18 A   -   8 6   *   π

=   6 A   - 4 3   *   π

Passo 8

Agora, substituímos o valor de A:

A   = 4   -   2 B 3

A   = 4   -   2 2 A   -   4 2 3

A   = 4   -   2 A   -   4 3

3 A   =   4   -   2 A   +   4

5 A   =   8

A   = 8 5

Passo 9

Agora, podemos encontrar o valor da integral:

=   6 A   - 4 3   *   π

=   6 8 5 - 4 3   *   π

=   48 5 - 4 3   *   π

Para simplificar ainda mais, podemos encontrar um denominador comum:

=   48 5 *   3 3 -   4 3 *   5 5   *   π

=   144 15 -   20 15   *   π

=   124 15   *   π

Resposta

  124 15   *   π

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