Resolva as integrais indefinidas abaixo:

d ) ∫ - 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 d x  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão tem muitas etapas, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Segura minha mão e vem comigo!

Letra (d):

∫ - 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 d x  

Galera, foca em mim! Sempre que tiver polinômio em cima E embaixo, é frações parciais! Sempre! A gente não consegue resolver essa integral sem separar essas coisas todas, infelizmente!

Mas fica tranquilo, vou te ajudar e vamos resolver juntos passo a passo!

Vou trabalhar só com o integrando por enquanto, então temos:

- 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3

A ideia é ir voltando no mmc, é como rebobinar uma fita (essa é para a galera vintage)!

Esse integrando vai ser separado em três frações, cada uma com uma parte do denominador, saca só:

- 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 = A x - 1 + B x - 2 + C x - 3

E porque essas constantes A , B e C ? Porque a gente ainda não sabe quais foram os termos que quando foi feito o mmc e juntado as três frações, deram origem ao polinômio do numerador. Então a gente tem que ir refazendo os passos de frente para trás, e aí achar.

Passo 2

Como a ideia é refazer os passos, pra juntar essas três frações do lado direito, precisamos fazer o mmc entre elas. E quando temos funções, o mmc é o produto delas, certo?

Outra coisa, determinado o mmc, pra fazer a soma a gente divide o mmc pelo denominador e o resultado multiplica pelo numerador. Então nossas frações ficam assim:

- 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 = A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 ) x - 1 x - 2 x - 3

E agora? Como os denominadores são iguais, podemos igualar apenas os numeradores:

- 2 x 2 + 3 x + 1 = A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 )

Viu só?

Passo 3

Vamos dar uma olhandinha com mais carinho pra expressão que temos:

- 2 x 2 + 3 x + 1 = A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 )

Do lado esquerdo a gente tem um polinômio de grau dois. Do outro lado um polinômio com coeficientes que não sabemos. Ora, um polinômio só é igual ao outro quando os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais!

Esse é um jeito de fazer: fazer as multiplicações distributivas, agrupar os termos de mesmo grau em x e igualar. Dessa forma vamos ter um sistema de 3 variáveis e 3 equações. Funciona. Mas dá trabalho.

Olha só o jeito como vou resolver. Se admitirmos que x = 1 , então essa expressão fica assim:

- 2 x 2 + 3 x + 1 = A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 )

- 2 1 2 + 3 ( 1 ) + 1 = A 1 - 2 1 - 3 + B 1 - 1 1 - 3 + C ( 1 - 1 ) ( 1 - 2 )

Como x = 1 é uma raiz do denominador, usando esse valor de x vamos eliminar os termos com B e C e essa expressão fica apenas com A :

- 2 + 3 + 1 = A . - 1 . - 2 + 0 B + 0 C

E daqui podemos tirar o valor de A !

Daí temos:

2 = 2 A ∴ A = 1

Sacou a ideia? É sempre usar algum número que vá eliminar as outras duas constantes. Às vezes dá certo, nem sempre! Por isso expliquei ali em cima o método “comum”.

Passo 4

Vamos encontrar as outras constantes? Bora lá!

Usando x = 2 temos:

- 2 x 2 + 3 x + 1 = A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 )

- 2 2 2 + 3 ( 2 ) + 1 = A 2 - 2 2 - 3 + B 2 - 1 2 - 3 + C ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 )

Resolvendo temos:

- 8 + 6 + 1 = 0 A + B 1 - 1 + 0 C

- 1 = - 1 B ∴ B = 1

Tranquilo até aqui?

Agora fazendo x = 3 temos:

- 2 x 2 + 3 x + 1 = A x - 2 x - 3 + B x - 1 x - 3 + C ( x - 1 ) ( x - 2 )

- 2 3 2 + 3 ( 3 ) + 1 = A 3 - 2 3 - 3 + B 3 - 1 3 - 3 + C ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 )

E resolvendo as operações:

- 18 + 9 + 1 = 0 A + 0 B + C ( 2 ) ( 1 )

- 8 = 2 C ∴ C = - 4

Passo 5

Pronto! Agora que sabemos todas as constantes podemos reescrever a fração do integrando:

- 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 = A x - 1 + B x - 2 + C x - 3

- 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 = 1 x - 1 + 1 x - 2 + - 4 x - 3

E podemos voltar para nossa integral:

∫ 1 x - 1 + 1 x - 2 + - 4 x - 3 d x  

Podemos separar em três integrais:

∫ d x x - 1 + ∫ d x x - 2 - 4 ∫ d x x - 3  

Passo 6

1 x d x , que é a integral do l n ⁡ | x | ! E se tiver deslocado de x - a ? Aí fica assim ó:

∫ 1 x - a = l n ⁡ | x - a |

Agora é só aplicar essa regra nas integrais que a gente tem! Saca só:

∫ d x x - 1 + ∫ d x x - 2 - 4 ∫ d x x - 3   = ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 2 - 4 ln ⁡ x - 3

Podemos deixar esses ln´s de uma forma mais compacta: a soma de dois logaritmos é o produto do logaritmando e a subtração é a divisão:

l n A + l n B = ln ⁡ A . B

l n A - l n B = l n ⁡ ( A / B )

Ah! E temos que um número na frente de um logaritmo pode virar a potência do logaritmando:

A l n B = l n B A

Daí com isso vamos juntar esses três logaritmos:

ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 2 - 4 ln ⁡ | x - 3 | = ln ⁡ x - 1 x - 2 x - 3 4

Não esquece do + C porque é uma integral indefinida!

Aí nossa integral fica:

∫ - 2 x 2 + 3 x + 1 x - 1 x - 2 x - 3 d x   = ln ⁡ x - 1 x - 2 x - 3 4 + C

Ufa! Terminamos! Espero ter te ajudado!

Bora pra próxima?

Resposta

ln ⁡ x - 1 x - 2 x - 3 4 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2d y
Calcule.int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x
Calcule a integralint (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x