Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Integração por Frações Parciais

Resolva a integral:

∫ x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x

Passo 1

Vamos, primeiramente, identificar qual método de integração vamos utilizar. Nesse caso o mais indicado é o método de frações parciais. Só que vamos ter que fazer uma pequena manipulação na expressão, porque o GRAU do numerador é maior do que o GRAU do denominador. Então, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. E assim, feita a divisão, vamos obter um quociente x + 1 e resto 3 x - 4 .

Logo, podemos reescrever a expressão que temos que integrar da seguinte maneira:

∫ 3 x - 4 x 2 - x - 6 + x + 1 d x

∫ 3 x - 4 x 2 - x - 6 d x + ∫ x d x + ∫ d x

Então chegamos numa soma de integrais, e na primeira integral podemos usar o método das frações parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Desmembrando em frações parciais:

3 x - 4 x 2 - x - 6 = A x - 3 + B x + 2

3 x - 4 x 2 - x - 6 = A x + 2 + B x - 3 x - 3 x + 2

E então teremos:

3 x - 4 = A x + 2 + B x - 3 = A x + 2 A + B x - 3 B

Vamos ter o seguinte sistema pra resolver:

3 = A + B - 4 = 2 A - 3 B

Passo 3

Resolvendo o sistema que a gente chegou, encontramos os valores:

A = 1

B = 2

Então voltando pra integral que temos que calcular:

∫ x + 2 x 2 - x - 6 d x + ∫ 2 ( x - 3 ) x 2 - x - 6 d x + ∫ x d x + ∫ d x

∫ 1 x - 3 d x + ∫ 2 x + 2 d x + ∫ x d x + ∫ d x

E finalmente:

ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ x + 2 + x 2 2 + x + C

Resposta

ln ⁡ x - 3 + 2 ln ⁡ x + 2 + x 2 2 + x + C

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