Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

b )   ∫ x + 1 x 2 + 4 x - 5 d x

Passo 1

Olá pessoal, tudo certinho com vocês?

Nessa questão precisamos resolver a integral:

∫ x + 1 x 2 + 4 x - 5 d x

Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.

Vocês lembram o que diz esse método?

Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.

Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.

Passo 2

Então pessoal, existem alguns casos possíveis de fatoração parcial, de acordo com algumas características dos polinômios na fração original.

Pra pensarmos em como atacar o problema é interessante começar fatorando o polinômio no denominador, usando as suas raízes:

x 2 + 4 x - 5

Por inspeção temos que:

x = 1

x = - 5

São ambos raízes. Daí, temos:

x 2 + 4 x - 5 = ( x - 1 ) ( x + 5 )

Acabamos de fatorar o nosso polinômio do denominador, e chegamos apenas em fatores lineares.

Assim, precisamos usar a seguinte expressão:

x + 1 x 2 + 4 x - 5 = A x - 1 + B x + 5

Manipulando o lado direito, temos:

A x + 5 + B x - 1 x - 1 x + 5 = x A + B + 5 A - B x - 1 x + 5

Ou seja:

x + 1 x 2 + 4 x - 5 = x A + B + 5 A - B x - 1 x + 5

Daí, para que realmente ocorra a igualdade, temos:

1 = A + B 1 = 5 A - B

Somando as duas equações, temos:

6 A = 2

∴ A = 1 3

Logo:  

  B = 5 3

Assim, podemos reescrever a nossa fração como:

x x 2 + 4 x - 5 = 1 / 3 x - 1 + 5 / 3 x + 5

Muito bom!

Passo 3

Aí, podemos reescrever a integral como sendo:

∫ x + 1 x 2 + 4 x - 5 d x = ∫ 1 3 x - 1 d x + ∫ 5 3 x + 5 d x

Viram que legal? Essas duas integrais são bem mais simples.

Começando pela primeira, temos:

∫ 1 3 x - 1 d x = 1 3 ∫ 1 x - 1 d x

Chamando:

y = x - 1

d y = d x

Vem:

1 3 ∫ 1 y d y

= 1 6 l n ⁡ | y |

Voltando à variável original:

∫ 1 3 x - 1 d x = 1 3 ln ⁡ x - 1

Usando raciocínio análogo para a segunda integral, temos:

∫ 5 3 x + 5 d x = 5 3 ln ⁡ | x + 5 |

Juntando tudo e adicionando também a constante de integração, ficamos com:

∫ x x 2 + 4 x - 5 d x = 1 3 ln ⁡ x - 1 + 5 3 ln ⁡ | x + 5 | + C

Prontinhoo! Matamos essa integral 😊

Valeu pela confiança gente, tamo junto!!

Resposta

1 3 ln ⁡ x - 1 + 5 3 ln ⁡ | x + 5 | + C

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