Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

c )   ∫ x x 2 + 2 x + 1 d x

Passo 1

E aí gente, tudo na paz com vocês?

Nessa questão precisamos resolver a integral:

∫ x x 2 + 2 x + 1 d x

Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.

Vocês lembram o que diz esse método?

Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.

Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.

Passo 2

Então pessoal, existem alguns casos possíveis de fatoração parcial, de acordo com algumas características dos polinômios na fração original.

Pra pensarmos em como atacar o problema é interessante começar fatorando o polinômio no denominador, usando as suas raízes:

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Isso significa que o polinômio do denominador possui duas raízes iguais. Nesse caso, vamos separar as frações da seguinte forma:

x x 2 + 2 x + 1 = A x + 1 + B x + 1 2

Manipulando o lado direito da equação, vem que:

x x 2 + 2 x + 1 = A x + 1 + B x + 1 2

∴ x x 2 + 2 x + 1 = A x + A + B x + 1 2

Para que essas frações sejam iguais, como os denominadores já são iguais, os numeradores também precisam ser. Daí:

A = 1 A + B = 0

∴ A = 1 ,   B = - 1

Assim, ficamos com a seguinte separação:

x x 2 + 2 x + 1 = 1 x + 1 - 1 x + 1 2

Muito bom!

Passo 3

Agora vamos voltar para a resolução da integral:

∫ x x 2 + 2 x + 1 d x = ∫ 1 x + 1 d x - ∫ 1 x + 1 2 d x

Começando pela primeira integral, temos:

∫ 1 x + 1 d x

Chamando:

y = x + 1

d y = d x

Vem:

∫ 1 y d y = l n ⁡ | y |

Voltando à variável original:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1

Já na segunda integral, também vamos fazer a mesma substituição de variável. Assim, ficamos com:

∫ 1 x + 1 2 d x = ∫ 1 y 2 d y

= - y - 1

Voltando à variável original:

- y - 1 = - 1 ( x + 1 )

Daí, juntando ambos os resultados:

∫ x x 2 + 2 x + 1 d x = ln ⁡ | x + 1 | + 1 ( x + 1 ) + C

(não podemos esquecer de somar a constante de integração no final hein pessoaaal haha).

Prontinho, com isso finalizamos mais um item 😊

Obrigado pela atenção!

Resposta

ln ⁡ | x + 1 | + 1 ( x + 1 ) + C

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