Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

d )   ∫ x x 2 - 2 x - 3 d x

Passo 1

Faala pessoal, tudo beleza?

Nessa questão precisamos resolver a integral:

∫ x x 2 - 2 x - 3 d x

Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.

Vocês lembram o que diz esse método?

Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.

Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.

Passo 2

Então pessoal, existem alguns casos possíveis de fatoração parcial, de acordo com algumas características dos polinômios na fração original.

Pra pensarmos em como atacar o problema é interessante começar fatorando o polinômio no denominador, usando as suas raízes:

x 2 - 2 x - 3

Por inspeção temos que:

x = - 1

x = 3

São ambos raízes. Daí, temos:

x 2 - 2 x - 3 = ( x + 1 ) ( x - 3 )

Acabamos de fatorar o nosso polinômio do denominador, e chegamos apenas em fatores lineares.

Assim, precisamos usar a seguinte expressão:

x x 2 - 2 x - 3 = A x + 1 + B x - 3

∴ x x 2 - 2 x - 3 = x A + B + ( 3 A - B ) x + 1 x - 3

Para que a igualdade seja validade, devemos ter:

A + B = 1 - 3 A + B = 0

Aí, somando as duas equações, temos:

A = 1 4

Logo:

B = 3 4

Assim, as frações ficam separadas como:

x x 2 - 2 x - 3 = 1 / 4 x + 1 + 3 / 4 x - 3

Excelente!

Passo 3

Agora vamos resolver as integrais que vieram da fração parcial:

∫ x x 2 - 2 x - 3 d x = 1 4 ∫ 1 x + 1 d x + 3 4 ∫ 1 x - 3 d x

Começando pelo primeiro termo:

1 4 ∫ 1 x + 1 d x

chamando:

y = x + 1

d y = d x

Vem:

1 4 ∫ 1 y d y = l n ⁡ | y |

Voltando à variável original:

1 4 ∫ 1 x + 1 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1

Fazendo o processo análogo para a segunda integral, vem que:

3 4 ∫ 1 x - 3 d x = 3 4 ⋅ ln ⁡ | x - 3 |

Aí agora é só juntar os dois termos!

Vamos ter que:

∫ x x 2 - 2 x - 3 d x = 1 4 ln ⁡ x + 1 + 3 4 ⋅ ln ⁡ x - 3 + C

(não pode esquecer de somar a constante de integração hein pessoal haha)

Prontinho, galera! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

1 4 ln ⁡ x + 1 + 3 4 ⋅ ln ⁡ x - 3 + C

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