Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

e )   ∫ d x x + 1 x 2 + 1 d x

Passo 1

E aí amigos, como vocês estão? Tudo na paz?

Nessa questão precisamos resolver a integral:

∫ d x x + 1 x 2 + 1 d x

Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.

Vocês lembram o que diz esse método?

Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.

Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ d x x + 1 x 2 + 1 d x

Nela temos apenas um polinômio no denominador, que já está fatorado. Esse polinômio é formado por um fator linear, ( x + 1 ) , e um fator quadrático, x 2 + 1 ,   que não pode ser mais fatorado do que isso nos reais.

Nesses casos, o bizu pra conseguirmos separar em frações parciais é escrevermos:

1 x + 1 x 2 + 1 = A x + 1 + B x 2 + 1 ' + C x 2 + 1

Como:

x 2 + 1 ' = 2 x

Temos:

1 x + 1 x 2 + 1 = A x + 1 + B 2 x + C x 2 + 1

Daí vamos ter:

= x 2 A + 2 B + x 2 B + C + A + C x + 1 x 2 + 1

Assim, podemos montar o seguinte sisteminha:

A + 2 B = 0 2 B + C = 0 A + C = 1

Subtraindo a primeira da segunda, temos:

A - C = 0

Somando com a terceira equação, vem que:

2 A = 1

∴ A = 1 2

⇒ C = 1 2

E:

B = - 1 4

Daí, podemos escrever a separação em frações parciais da seguinte forma:

1 x + 1 x 2 + 1 = 1 / 2   x + 1 + - x 2 + 1 2 x 2 + 1

Muito bom!

Passo 3

Voltando às integrais, temos:

∫ d x x + 1 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1   x + 1 d x + 1 2 ∫ 1 - x x 2 + 1 d x

Vamos resolver as integrais uma a uma:

∫ 1   x + 1 d x

Chamando:

y = x + 1

d y = d x

Vem:

∫ 1 y d y = l n ⁡ | y |

Voltando à variável original:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1

Vamos agora para a segunda integral:

∫ 1 - x x 2 + 1 d x = ∫ 1 x 2 + 1 d x - ∫ x x 2 + 1 d x

A primeira integral é tabelada, a famosa integral cuja primitiva é a função arco-tangente. Daí:

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x

A segunda integral pode ser resolvida usando o método de substituição de variáveis:

∫ x x 2 + 1 d x

Chamando:

x 2 + 1 = u

x d x = d u 2

Logo:

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u

= 1 2 l n ⁡ | u |

Voltando à variável original:

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

Agora que temos os resultados de todas as integrais originadas das frações parciais, vamos juntar tudo:

∫ d x x + 1 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1   x + 1 d x + 1 2 ∫ 1 - x x 2 + 1 d x

= ∫ d x x + 1 x 2 + 1 d x = 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 1 2 ⋅ a r c t g   x - 1 4 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 + C  

(cuidado com a constante de integração pessoal...)

Mas é issooo, terminamos mais uma!

Vocês entenderam tudinho? Responde Aí!

Resposta

1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 1 2 ⋅ a r c t g   x - 1 4 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 + C

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