Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

f )   ∫ x x + 1 x + 2 x + 3 d x

Passo 1

Faaaala galerinha do bem, como vocês estão?

Nessa questão precisamos resolver a integral:

∫ x x + 1 x + 2 x + 3 d x

Mas, devemos utilizar o método das frações parciais.

Vocês lembram o que diz esse método?

Basicamente, quando temos uma fração de polinômios em que o numerador possui um grau menor do que o denominador, podemos separar essa fração como a adição ou subtração de duas frações mais simples. Isso facilita o cálculo da integral.

Vamos fazer juntos que vai ficar bem claro como aplicamos esse método na prática.

Passo 2

Bom, a nossa integral do problema já veio com o polinômio do denominador fatorado e bonitinho pra gente 😊

x x + 1 x + 2 x + 3

Como todos os fatores são lineares, vamos separar da seguinte forma:

x x + 1 x + 2 x + 3 = A x + 1 + B x + 2 + C x + 3

Multiplicando em cima e embaixo no lado direito por:

( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )

Vem que o lado direito vale:

x = A x + 2 x + 3 + B x + 1 x + 3 + C ( x + 1 ) ( x + 2 )

Para montar o sisteminha que irá nos dar A , B e C sem precisar aplicar a distributiva 3 vezes no lado direito, podemos ir substituindo alguns valores de x .

x = - 1 →

- 1 = 2 A

∴ A = - 1 2

x = - 2 →

- 2 = - B

∴ B = 2

x = - 3 →

- 3 = 2 C

∴ C = - 3 2

Portanto, podemos escrever a separação em frações parciais como sendo:

x x + 1 x + 2 x + 3 = - 1 / 2 x + 1 + 2 x + 2 + - 3 / 2 x + 3

Excelente!

Passo 3

Agora vamos voltar para a integral do problema, substituindo o resultado que encontramos no passo anterior:

∫ x x + 1 x + 2 x + 3 d x = - 1 2 ⋅ ∫ 1 x + 1 d x + 2 ⋅ ∫ 1 x + 2 d x - 3 2 ⋅ ∫ 1 x + 3 d x

Perfeito!

Na primeira integral da direita, temos:

Chamando:

y = x + 1

d y = d x

Vem:

∫ 1 y d y = l n ⁡ | y |

Voltando à variável original:

∫ 1 x + 1 d x = ln ⁡ x + 1

O mesmo processo pode ser feito de forma análoga para as outras duas integrais, de modo que encontramos:

∫ 1 x + 2 d x = ln ⁡ x + 2

∫ 1 x + 3 d x = ln ⁡ | x + 3 |

Daí, substituído esses resultados na expressão das integrais, chegamos que:

∫ x x + 1 x + 2 x + 3 d x = - 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 2 ⋅ ln ⁡ x + 2 - 3 2 ⋅ ln ⁡ x + 3 + C

(não podemos esquecer da constante de integração hein pessoal haha...)

Mas é isso galerinha, matamos mais uma questão 😊

Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima!

Resposta

- 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + 2 ⋅ ln ⁡ x + 2 - 3 2 ⋅ ln ⁡ x + 3 + C

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