2. Resolva as seguintes integrais usando o método das frações parciais:

g) ∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x simplificando a fração por meio de frações parciais...

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

A ideia do problema é decompor a fração da integral em frações parciais para facilitar o cálculo da integral.

Nesse caso, antes de calcular as frações parciais podemos aplicar o método de substituição fazendo u = e x e d u = e x d x , temos

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x → ∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u

Bora começar! 👀

Passo 2

Decompondo a fração em frações parciais, vamos obter

1 u 2 + 3 u + 2 = 1 u + 1 u + 2 = A u + 1 + B u + 2

Multiplicando a fração A u + 1 no numerador e no denominador por u + 2 e fração B u + 2 por u + 1

1 u + 1 u + 2 = A u + 2 u + 1 u + 2 + B u + 1 u + 1 u + 2

1 u + 1 u + 2 = A u + 2 + B u + 1 u + 1 u + 2

Simplificando dos denominadores das frações

A u + 2 + B u + 1 = 1

A u + 2 A + B u + B = 1

A + B u + 2 A + B = 1

Por igualdade de polinômios, temos

A + B = 0 2 A + B = 1 → A = - B 2 A - A = 1

A = 1 B = - 1

Substituindo na decomposição

1 u 2 + 3 u + 2 = 1 u + 1 - 1 u + 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo na integral, chegamos em

∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u = ∫ 1 u + 1 d u - ∫ 1 u + 2 d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, as integrais são dadas por

∫ 1 u 2 + 3 u + 2 d u = ln ⁡ u + 1 - ln ⁡ u + 2 + C

Se u = e x , então

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x = ln ⁡ e x + 1 - ln ⁡ e x + 2 + C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde A��! 😎👍

Resposta

∫ e x e 2 x + 3 e x + 2 d x = ln ⁡ e x + 1 - ln ⁡ e x + 2 + C

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