9.8 Seja f x = 1 x 2 + x + 1 m x - 8 n x - 10 p

b) Para m = 1 , n = 2 e p = 0 , calcule ∫ f x d x .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos escrever a expansão de f x = 1 x 2 + x + 1 x - 8 2 em frações parciais.

Lembrando que separar em frações em parciais é quando temos uma multiplicação no denominador da fração e queremos separar as parcelas dessa multiplicação:

1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = A x + 1 + B x - 1

Maaas temos um caso diferente, que é quando temos parcelas iguais:

1 x + 1 n = A x + 1 + B x + 1 2 + … + Z x + 1 n

Outro caso é quando o polinômio de baixo não é de primeiro grau. (repara que o de cima é um grau a menos do que o que está embaixo)

1 x 2 + x + 1 x - 1 = A x + B x 2 + x + 1 + C x - 1

Passo 2

Montando as frações parciais:

1 x 2 + x + 1 x - 8 2 = A x + B x 2 + x + 1 + C x - 8 + D x - 8 2

= A x + B x 2 + x + 1 + C x - 8 + D x 2 - 16 + 64

Fazendo o MMC:

= ( A x + B ) ( x 2 - 16 x + 64 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 - 16 x + 64 ) + C x 2 + x + 1 x - 8 ( x - 8 ) ( x - 8 ) ( x 2 + x + 1 ) + D x 2 + x + 1 ( x 2 - 16 + 64 ) x 2 + x + 1

= A x 3 - 16 A x 2 + 64 A x + B x 2 - 16 B x + 64 B + C x 3 - 7 C x 2 - 7 C x - 8 C + D x 2 + D x + D x 2 + x + 1 x - 8 2

Agrupando tudo que está acompanhado de x 3 , x 2 ... por aí vai...

= A + C x 3 + - 16 A + B - 7 C + D x 2 + ( 64 A - 16 B - 7 C + D ) x + ( 64 B - 8 C + D ) x 2 + x + 1 x - 8 2

Passo 3

Chegamos na igualdade:

1 x 2 + x + 1 x - 8 2 =

A + C x 3 + - 16 A + B - 7 C + D x 2 + ( 64 A - 16 B - 7 C + D ) x + ( 64 B - 8 C + D ) x 2 + x + 1 x - 8 2

Agora comparamos o que está na frente do x 3 de um lado com o que está do outro. (No nosso caso vai ser tudo zero, né? só vai ser diferente pra quando não tiver x , que vai ser igual a 1)

Montamos o sisteminha:

A + C = 0 - 16 A + B - 7 C + D = 0 64 A - 16 B - 7 C + D = 0 64 B - 8 C + D = 1

Resolvendo:

A = 17 5329

B = 80 5329

C = - 17 5329

D = 1 73

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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