Substituições trigonométricas e frações parciais

Calcule ∫ A x + B a x 2 + b x + c n d x (inicialmente escolha os valores de A , B ,   a , b , c , n )

Passo 1

Para calcular a integral ∫ A x + B a x 2 + b x + c n d x   usando substituições trigonométricas e frações parciais, você precisará fazer uso de ambos os métodos em etapas separadas. Primeiro, usaremos substituições trigonométricas para simplificar a integral e, em seguida, aplicaremos frações parciais. Vamos começar:

**Substituição trigonométrica**:

Primeiro, faça a substituição trigonométrica para simplificar a integral.

Use a substituição x = c a tan ⁡ θ .

Isso implica em d x = c a sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Agora, substitua esses valores na integral original:

∫ A x + B a x 2 + b x + c n d x

= ∫ A c a tan ⁡ θ + B a c a tan ⁡ θ 2 + b c a tan ⁡ θ + c n c a sec 2 ⁡ θ d θ

∫ A c a tan ⁡ θ + B c a tan ⁡ θ 2 + b a tan ⁡ θ + 1 n c a sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora, simplifique o termo no denominador usando frações parciais.

**Frações parciais**:

Seja u = tan ⁡ θ . O denominador agora se torna uma função racional em u . Você pode expressá-lo em frações parciais:

1 c a tan 2 ⁡ θ + b a tan ⁡ θ + 1 = A 1 1 u - r 1 + A 2 1 u - r 2 + … + A k 1 u - r k

onde A 1 ,   A 2 , … , A k são constantes, e r 1 , r 2 , … , r k são as raízes do denominador. A partir dessa decomposição, você pode encontrar os valores de A 1 ,   A 2 , … , A k usando métodos apropriados.

Depois de encontrar as constantes A 1 ,   A 2 , … , A k , você pode expressar a integral original como uma soma de integrais mais simples:

∫ A c a tan ⁡ θ + B c a tan ⁡ θ 2 + b a tan ⁡ θ + 1 n c a sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ A 1 1 u - r 1 + A 2 1 u - r 2 + … + A k 1 u - r k c a sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora você pode integrar cada uma das parcelas usando a substituição trigonométrica original. O resultado final será uma soma de integrais de funções simples, que podem ser mais fáceis de resolver do que a integral original.

Lembre-se de que os valores específicos de ( A , B , a , b , c , n ) determinarão as constantes A 1 ,   A 2 , … , A k e as raízes r 1 , r 2 , … , r k do denominador, e, portanto, a expressão exata das integrais simplificadas. A resolução completa depende desses valores específicos.

Resposta

Vide o passo a passo.

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