Substituições trigonométricas e frações parciais

Calcule

∫ 5 x 2 + x + 2 x 2 - x + 3 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral ∫ 5 x 2 + x + 2 x 2 - x + 3 d x

passo a passo usando substituições trigonométricas e frações parciais.

Frações parciais

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Começamos com:

5 x 2 +   x   +   2 x 2 -   x   +   3   = A x 2 +   x   +   2   + B x 2 -   x   +   3

Multiplicamos ambos os lados por ( x 2 +   x   +   2 ) ( x 2   -   x   +   3 ) para limpar o denominador:

5   =   A ( x 2   -   x   +   3 )   +   B ( x 2   +   x   +   2 )

Agora, encontramos os valores de A e B resolvendo esse sistema de equações. Separando os termos:

Para o termo x 2 :   0   =   A   +   B

Para o termo x :   0   =   - A   +   B

Para o termo constante: 5   =   3 A   +   2 B

Resolvendo este sistema, obtemos   A   =   - 5 / 4   e   B   =   5 / 4 .

Portanto, podemos reescrever a integral como:

∫ - 5 4 x 2 +   x   +   2   + 5 4 x 2 -   x   +   3 d x

Passo 2

Substituição trigonométrica

Agora, vamos lidar com cada parte usando substituição simples. Primeiro, vamos olhar para a integral ∫ ( - 5 / 4 ) / ( x 2   +   x   +   2 )   d x .

Para fazer isso, realizamos uma substituição trigonométrica. Complete o quadrado para o denominador:

x 2   +   x   +   2   =   x 2   +   x   +   1 +   1   =   x   + 1 2 2   + 3 4

Agora, fazemos a substituição:

u   =   x   + 1 2

d u   =   d x

A integral se torna:

∫ - 5 4 u 2   + 3 4   d u

Agora, podemos resolver essa integral usando a fórmula da tangente inversa:

∫ - 5 4 u 2 + 3 4   d u   =   - 5 4   *   2 3   *   a r c t a n u   * 3 2   +   C 1

Passo 3

Agora, voltamos para x usando u   =   x   +   1 / 2 :

- 5 4 *   2 3 * arctan ⁡ x   + 1 2 * 3 2 +   C 1

Agora, vamos lidar com a segunda parte da integral ,   ∫ ( 5 / 4 ) / ( x 2   –   x   +   3 )   d x

Aqui, você pode realizar uma substituição simples:

v   =   x   - 1 2

d v   =   d x

A integral se torna:

∫ 5 4 v 2   +   3 d v

Agora, podemos resolver essa integral usando uma substituição trigonométrica:

Substitua v por 3 *   t a n ( θ ) :

v   =   3 *   t a n ( θ )

d v   =   3   *   s e c 2 ( θ )   d θ

Passo 4

Agora, a integral se torna:

5 4   *   1 3   *   ∫ 1 t a n 2 θ +   1 d θ  

Isso é igual a:

5 4   *   1 3   *   ∫ 1 s e c 2 θ   d θ

Agora, sabemos que 1   /   ( s e c 2 ( θ ) ) é igual a c o s 2 ( θ ) , então a integral se torna:

5 4   *   1 3   *   ∫ c o s 2 ( θ )   d θ

Integre c o s 2 ( θ ) em relação a θ , e você obtém:

5 4   *   1 3   *   θ   +   1 2   *   s i n 2 θ   +   C 2

Passo 5

Agora, volte para x usando a relação v   =   3 *   t a n ( θ ) :

5 4 *   1 3   *   a r c t a n x   - 1 2   *   3   +   1 2   *   s i n 2   *   a r c t a n x   - 1 2   *   3   +   C 2

Finalmente, combine as duas partes da integral:

- 5 4 * 2 3 * a r c t a n x   + 1 2 * 3 2 + 5 4 * 1 3 * a r c t a n x   - 1 2 * 3 + 1 2 * s i n 2 * a r c t a n x   - 1 2 * 3 + C 1 + C 2

Agora, você pode simplificar os coeficientes e a expressão trigonométrica, se desejar, mas esta é a forma geral da solução para a integral original.

Resposta

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