Os únicos valores de a e b para os quais

∫ - 2 x - 1 x 2 - 6 x + 8   d x = a ln ⁡ x - 2 + b ln ⁡ x - 4 + C

onde C ∈ R é uma constante arbitrária, são

a) a = - 9 / 2 e b = - 9 / 2

b) a = 5 / 2 e b = - 9 / 2

c) a = - 9 / 2 e b = 5 / 2

d) a = - 5 / 2 e b = - 9 / 2

e) a = 5 / 2 e b = 9 / 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema você precisa lembrar um pouco das frações parciais. O primeiro passo é fatorar o denominador:

x 2 - 6 x + 8 = x - 2 x - 4

É fácil fazer essa fatoração percebendo que x = 2 e x = 4 são as raízes da equação x 2 - 6 x + 8 = 0 . Com isso, podemos escrever

- 2 x - 1 x 2 - 6 x + 8 = - 2 x - 1 x - 2 x - 4

Agora, escrevemos

- 2 x - 1 x - 2 x - 4 = A x - 2 + B x - 4 = A x - 4 + B x - 2 x - 2 x - 4

Portanto,

A + B x - 4 A - 2 B = - 2 x - 1

Assim, comparando termo a termo

A + B = - 2 - 4 A - 2 B = - 1

Passo 2

Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda:

2 A - 4 A = - 4 - 1 → A = 5 2

Com isso,

B = - 2 - A = - 2 - 5 2 = - 9 2

Logo,

∫ - 2 x - 1 x 2 - 6 x + 8   d x = 5 2 ∫ d x x - 2 - 9 2 ∫ d x x - 4

Passo 3

Fazendo as integrais:

∫ - 2 x - 1 x 2 - 6 x + 8   d x = 5 2 ln ⁡ x - 2 - 9 2 ln ⁡ x - 4 + C

Portanto,

a = 5 2             e             b = - 9 2

Daí é só assinalar a alternativa B e partir para a próxima questão.

Resposta

Alternativa B.

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