Calcule as seguintes integrais:

a)

∫ 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para resolver a seguinte integral:

∫ 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) d x

Podemos desmembrar o termo 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) em várias funções parciais para conseguirmos resolver!!

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... dessa forma, temos que:

2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) = A x + 1 + B x - 1 + C x + D x 2 + 1

Logo, temos:

2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 = A x - 1 x 2 + 1 + B x + 1 x 2 + 1 + C x + D x + 1 x - 1 ∴

= A x 3 - A x 2 + A x - A + B x 3 + B x + B x 2 + B + C x 3 + D x 2 - C x - D ∴

A + B + C = 2 - A + B + D = 1 A + B - C = 2 - A + B - D = - 1

Resolvendo o sistema, encontramos:

A = 1

B = 1

C = 0

D = 1

Passo 3

Dessa forma, temos que:

2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 x + 1 + 1 x - 1 + 1 x 2 + 1

Aplicando na integral e resolvendo:

∫ 2 x 3 + x 2 + 2 x - 1 x + 1 x - 1 x 2 + 1 d x = ∫ 1 x + 1 + 1 x - 1 + 1 x 2 + 1 d x ∴

∫ 1 x + 1 + 1 x - 1 + 1 x 2 + 1 d x =

= ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 1 + a r c t g x + c

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 1 + a r c t g x + c

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