5 - Calcule ∫ ∫ R s e n x s e n y d x d y , onde R é o quadrado x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ π 2 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa conta parece que vai ser difícil? Relaxa! Ela é bem rapidinha, veja só!

Nessa questão, vamos obter a integral dada pela função trigonométrica s e n x s e n y no intervalo de integração dado pela região R , que é formado por um quadrado que em x , varia de 0 a π / 2 e em y também varia de 0 a π / 2 .

Tá conseguindo visualizar nossa região de integração? Vamos plotar as curvas que limitam nossa região.

x = 0 ,   x = π 2 ,   y = 0 ,   y = π 2

E aí, como vai ficar nossa integral? 🤔

Bora ver.

Passo 2

Como nossa região de integração é um quadrado, é relativamente mais simples obter os limites de integração para x e y .

Como x está variando de π / 2 a 0 , da maior curva à menor, o limite superior em x é π / 2 e o inferior é 0 .

Com relação a y temos o mesmo resultado, como estamos variando de π / 2 a 0 , os limites de integração em y é π / 2 no superior e 0 no inferior.

Com isso, nossa integral terá a seguinte cara

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x d y

Primeiro a gente calcula a integral e depois aplicamos os limites de integração.

Integrando em função de x , temos

∫ s e n x s e n y d x

Como s e n y não depende de x , podemos tirar da integral

s e n y ∫ s e n x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a integral do s e n é - c o s , logo

s e n y ∫ s e n x d x = s e n y - cos ⁡ x

Aplicando os limites de integração, vamos obter

∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x = s e n y - cos ⁡ π 2 - s e n y - cos ⁡ 0

Como cos ⁡ π 2 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 , então

∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x = s e n y

Interessante, não é? 😎

Passo 3

A partir desse resultado, vamos integrar com relação a y .

∫ s e n y d y

Como acabamos de ver, pelo teorema fundamental do cálculo, a integral do s e n é - c o s

∫ s e n y d y = - cos ⁡ y

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 π 2 s e n y d y = ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x d y

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x d y = - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0

cos ⁡ π 2 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 , então

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x d y = 1

Achou que ia ser complicado?

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 s e n x s e n y d x d y = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .