Se D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 / | x | + | y | ≤ 1 } , mostre que ∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y = ∫ - 1 1 f ( u ) d u .

(Sugestão: Faça u = x + y e v = y )

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Temos que mostrar que a partir da seguinte integração

∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y           ( 1 )

sobre o domínio limitado de forma que

D = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 / | x | + | y | ≤ 1 }

é possível mostrar que

∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y = ∫ - 1 1 f ( u ) d u

O segredo é avaliar os limites de integração baseados no domínio indicado como a região D , no entanto, nestas coordenadas a integração pode ser complicada, aí entra a sugestão dada, em que podemos tentar fazer a seguinte substituição para simplificar o problema

u = x + y e v = y

e assim obter uma nova região que pode simplificar o nosso problema! Vamos fazer isso agora!

Passo 2

Primeiro vamos tentar visualizar a nossa região de integração

note que montar as quatro retas que determinam a região, é preciso usar a seguinte relação

| x | + | y | ≤ 1

mas note que a definição de módulo indica que para x < 0 , temos que | x | = - x , e temos que para x > 0 , | x | = x , pode se fazer analogamente para | y | , e assim se obtém as quatro retas indicadas acima! Isso vai ser importante quando formos escrever nossa nova regi��o! Vamos fazer agora a mudança de coordenadas sugerida!

Passo 3

Foi sugerido que fizéssemos

u = x + y e v = y         ( 2 )

ao fazer uma mudança de coordenadas, temos que

d x d y = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) d u d v

em que

que é o jacobiano da mudança de coordenadas, para aplicarmos a definição precisamos obter x ( u , v ) e y ( u , v ) , isso é obtido subtraindo ambas equações em ( 2 ) de forma que

x = u - v

e como temos que

y = v

de forma que podemos aplicar o determinante do jacobiano para obter

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v - ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u = ( 1 ) ( 1 ) - ( - 1 ) ( 0 )

ou simplesmente

∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = 1

Usando estes resultados e a mudança de coordenadas em nossa integral dupla, temos que

∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y = ∫ R ∫ f ( u ) d u d v

Bem mais simples não é? Faltam só os limites de integração! Para isso, vamos visualizar quem é a região R !

Passo 4

Ao fazer a mudança de coordenadas nós mudamos nossa região, antes delimitadas por quatro retas, mas agora, estas quatro retas se tornam

v = 1 + u - v

ou simplesmente

v = 1 2 [ 1 + u ]

uma reta de inclinação positiva! Analogamente para as outras retas, temos que

v = 1 - ( u - v )

nos leva à

u = 1

e, também que

v = 1 2 [ u - 1 ] e u = - 1

que é a seguinte região

Os limites de integração são então simplesmente dados por

∫ R ∫ f ( u ) d u d v = ∫ - 1 1 ∫ 1 2 [ u - 1 ] 1 2 [ u + 1 ] f ( u ) d u d v

Ficou bem mais simples que a integral original não é? Como os limites não são constantes (a região não é retangular), temos que integrar primeiro em v , já que os seus limites dependem da outra variável! Vamos fazer isso!

Passo 5

Vamos começar com a integral em v , temos que

∫ 1 2 [ u - 1 ] 1 2 [ u + 1 ] d v

já que f ( u ) depende apenas de u , obtemos que

∫ 1 2 [ u - 1 ] 1 2 [ u + 1 ] d v = v | 1 2 [ u - 1 ] 1 2 [ u + 1 ] = 1 2 [ u + 1 ] - 1 2 [ u - 1 ]

ou simplesmente

∫ 1 2 [ u - 1 ] 1 2 [ u + 1 ] d v = 1

Temos então que

∫ R ∫ f ( u ) d u d v = ∫ - 1 1 f ( u ) d u

de forma que a integral é

∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y = ∫ - 1 1 f ( u ) d u

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ D ∫ f ( x + y ) d x d y = ∫ - 1 1 f ( u ) d u

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