Calcule:

a)

∫ ∫ x sin ⁡ y - y e x d x   d y R

Onde R = - 1,1 × 0 , π 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ x sin ⁡ y - y e x d x   d y R

Onde R = - 1,1 × 0 , π 2 .

Em outras palavras, queremos resolver a seguinte integral (aplicando os limites de integração):

∫ 0 π / 2 ∫ - 1 1 x sin ⁡ y - y e x d x   d y

Para isso, temos que integrar primeiramente em relação a d x e depois para d y (ou vice-versa haha).

Lembrando que o y será uma constante quando estivermos desenvolvendo a integral quando tiver em relação a d x . E o mesmo acontece para x , quando em relação a d y .

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a x ,vamos pegar essa integral:

∫ - 1 1 x sin ⁡ y - y e x d x

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ - 1 1 x sin ⁡ y d x - ∫ - 1 1 y e x d x ∴

= sin ⁡ y ∫ - 1 1 x d x - y ∫ - 1 1 e x d x ∴

= sin ⁡ y x 2 2 1 - 1 - y e x 1 - 1 ∴

= - e - 1 e y

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 π / 2 ∫ - 1 1 x sin ⁡ y - y e x d x   d y = ∫ 0 π / 2 - e - 1 e y d y ∴

Colocando a constante para fora da integral e desenvolvendo, temos:

= - e - 1 e ∫ 0 π / 2 y d y ∴

= - e - 1 e y 2 2 π / 2 0 ∴

= π 2 - e 2 + 1 8 e

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= π 2 - e 2 + 1 8 e

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