Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G4 - 2013.2, Questão 3

Calcule a integral dupla

I = D 1 x + y 3   d x d y  

Em que D   é a região plana:

D = x , y R 2 x 1 ,   y 1 ,   x + y 3

Passo 1

Para resolver essa integral, precisamos saber os limites de integração! Para isso, vamos dar uma olhada na região D ?

As desigualdades nos dizem que x e y são maiores ou iguais a 1 , e que x + y 3 , ou seja, y é menor ou igual a reta y = 3 - x . Juntando tudo temos:

Para interpretar essas desigualdades é legal colocar o dedo sobre a curva e ver o que temos: colocando o dedo sobre a reta, y deve ser menor do que ela, então andamos para baixo dela! E, como x e y são maiores ou iguais a 1 , estamos em cima de y = 1 e a direita de x = 1 ;)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, podemos ver os limites de integração da integral dupla! Como a reta é y = 3 - x , temos que y é função de x , logo, devemos integrar antes em relação a y . Além disso, vemos que y 1,3 - x Como quando y = 1 temos x = 2 (vértice direito do triângulo), temos que x 1,2 . Colocando esses limites na integral, fica:

1 2 1 3 - x 1 x + y 3 d y d x

Passo 3

Pronto! Agora só precisamos resolver a integral ;) Veja que o que temos é:

1 2 1 3 - x x + y - 3 d y d x

E, integrando em relação a y , temos:

1 2 - x + y - 2 2 1 3 - x d x

Dando aquela ajeitada, temos:

1 2 - 3 - 2 2 + x + 1 - 2 2 d x =

1 2 - 1 18 + 1 2 x + 1 2 d x

Agora, integrando em relação a x , temos:

- x 18 - 1 2 x + 1 1 2 =

- 2 18 - 1 6 + 1 18 + 1 4 = 1 36

Pronto! Integral resolvida!

Resposta

1 36

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