(Cap 15.1 – Ex 12) Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.

∬ R   ( 5 - x )   d A   ,                     R = x , y   0 ≤ x ≤ 5   ,   0 ≤ y ≤ 3

Passo 1

Falaiii meus amigos, show de bola?

Bora pra mais um?

Simboráa

Precisamos calcular uma integral dupla, numa dadaregião de integração!

A integral é

∬ R   5 - x d A

A região de integração é

R = x , y   0 ≤ x ≤ 5   ,   0 ≤ y ≤ 3

O objetivo será avaliar a integral dupla identificando-a como volume de sólido

Primeiro de tudo, iremos esboçar o diagrama da região R , da seguinte maneira:

Passo 2

Interpretaremos f como a hipotenusa de um triângulo retângulo no plano x z - , de 0 ≤ x ≤ 5 , sendo esse um triângulo retângulo isósceles com os dois catetos iguais a 5. Em y , a região ocupa o intervalo 0 ≤ y ≤ 3 , e nós interpretaremos isso como a altura do objeto sólido que é igual a 3.

Interpretando essa integral como volume de um prisma retangular reto, temos:

∬ R   5 - x d A = 1 2 l 1 l 2 h

onde l 1 ,   l 2 serão as pernas do prisma triangular direito.

∬ R   5 - x d A = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 3

= 75 2

Resposta

Portanto, a integral dupla é igual a 75 / 2   = 37.5 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .