Considere uma lâmina que ocupa a região planar D que se encontra entre as curvas x = 0 , y = e 3 x e y = - e 3 x + 16 . Suponha que a densidade em um ponto qualquer na lâmina seja dada pela função ρ x , y = x y . Determine a massa total da lâmina.

Passo 1

Galera, bora lá! Pra início de conversa, tamos falando de várias curvas no plano x y e acho que fica confuso trabalhar com elas todas sem um esboço. Veja que pras curvas exponenciais, quando x = 0 , teremos os seguintes valores de y :

y = e 0 = 1

y = - e 0 + 16 = - 1 + 16 = 15

E que essas curvas vão se interceptar no seguinte valor de x :

e 3 x = - e 3 x + 16

2 e 3 x = 16

e 3 x = 8

E da propriedade dos logaritmos, tiramos

3 x = ln ⁡ 8 = ln ⁡ 2 3

3 x = 3 ln ⁡ 2

x = ln ⁡ 2

Um bom esboço então será:

Sendo que a lâmina, como o próprio enunciado disse, é a região entre essas curvas. Pra calcular a massa total, é bem aplicação de fórmula mesmo galera! Afinal temos uma equação lindíssima ela a partir da densidade:

m = ∬ D   ρ x , y   d A

A gente pode abrir essa integral já e por os limites de integração direitinho. Afinal, sabemos que:

d A = d y   d x

E do nosso esboço, vemos que a região de integração D , que define a lâmina, vale:

0 < x < ln ⁡ 2

e 3 x < y < - e 3 x + 16

Show de bola!! Sendo, do enunciado mesmo, ρ x , y = x y , nossa massa fica:

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y   d x

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y d x

Nos próximos passos, o que faremos é resolver essas integrais!

Passo 2

Show, vamos começar com a integral de dentro:

∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y

Essa integral esnobe quer nem saber quem é x , afinal ela tá em função de y . Vamos tratar x que nem uma constante então, e a integração vira a de um polinômio de y do primeiro grau, resultando em:

∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y = x ∙ y 2 2 y = e 3 x y = - e 3 x + 16

∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y = x ∙ - e 3 x + 16 2 2 - e 3 x 2 2

∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y = x ∙ e 6 x - 32 e 3 x + 256 2 - e 6 x 2

∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y = x ∙ - 32 e 3 x + 256 2

Simplificando, temos:

∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y = x ∙ 128 - 16 e 3 x

Passo 3

Agora a gente coloca esse resultado dentro da integral dupla que tínhamos antes:

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 ∫ e 3 x - e 3 x + 16 x y   d y d x

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 x ∙ 128 - 16 e 3 x d x

E integramos em relação a x ! Pra isso eu já dou um adianto aqui: a maior parte das vezes que temos um produto de funções diferentes na integral, ela sai por integração por partes. Uma boa forma de eliminarmos esse x multiplicando é considerarmos:

∫ u   d v =   ∫ x ∙ 128 - 16 e 3 x   d x

Onde:

u = x

d v = 128 - 16 e 3 x   d x

Sendo a integração por partes um método onde vale:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Derivamos u e integramos d v , achando:

d u = d x

v = 128 x - 16 3 e 3 x

E logo, temos:

∫ x ∙ 128 - 16 e 3 x   d x = x ∙ 128 x - 16 3 e 3 x - ∫ 128 x - 16 3 e 3 x   d x

∫ x ∙ 128 - 16 e 3 x   d x = 128 x 2 - 16 3 x e 3 x - ∫ 128 x   d x + ∫ 16 3 e 3 x   d x

∫ x ∙ 128 - 16 e 3 x   d x = 128 x 2 - 16 3 x e 3 x - 128 ∙ x 2 2 + 16 3 ∙ e 3 x 3

O que simplificando, resulta em:

∫ x ∙ 128 - 16 e 3 x   d x = 128 x 2 - 16 3 x e 3 x - 64 x 2 + 16 9 e 3 x

∫ x ∙ 128 - 16 e 3 x   d x = 64 x 2 - 16 3 x e 3 x + 16 9 e 3 x

A única coisa que falta é aplicar os limites de integração! Mãos a obra!

m = ∫ 0 ln ⁡ 2 x ∙ 128 - 16 e 3 x d x = 64 x 2 - 16 3 x e 3 x + 16 9 e 3 x x = 0 x = ln ⁡ 2

m = 64 ∙ ln 2 ⁡ 2 - 16 3 ∙ ln ⁡ 2 ∙ e 3 ln ⁡ 2 + 16 9 ∙ e 3 ln ⁡ 2 - 64 ∙ 0 2 - 16 3 ∙ 0 ∙ e 0 + 16 9 ∙ e 0

m = 64 ∙ ln 2 ⁡ 2 - 16 3 ∙ ln ⁡ 2 ∙ e ln ⁡ 2 3 + 16 9 ∙ e ln ⁡ 2 3 - 16 9

Levando em consideração que a = e ln ⁡ a é uma propriedade das exponenciais, chegamos a:

m = 64 ∙ ln 2 ⁡ 2 - 16 3 ∙ ln ⁡ 2 ∙ 2 3 + 16 9 ∙ 2 3 - 16 9

m = 64 ∙ ln 2 ⁡ 2 - 128 3 ∙ ln ⁡ 2 + 128 9 - 16 9

m = 64 ln 2 ⁡ 2 - 128 3 ln ⁡ 2 + 112 9

E ta na mão! Achamos a massa total!

Resposta

m = 64 ln 2 ⁡ 2 - 128 3 ln ⁡ 2 + 112 9

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