Determine:

b)

∫ ∫ x + y d A D

Onde D é a região entre os gráficos das funções y = x e y = e x , com 0 ≤ x ≤ 1 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ x + y d A D

Onde D é a região entre os gráficos das funções y = x e y = e x , com 0 ≤ x ≤ 1 .

Primeiro, temos que analisar a nossa região de integração...

Bom... A região D é definida pelas curvas y = x e y = e x no plano x y com 0 ≤ x ≤ 1 . Portanto, a região D é limitada pela reta y = x no topo e pela curva y = e x na base.

Nesse sentido, vemos que y varia de x até e x . E x varia de 0 a 1 .

Assim, a nossa integral dupla fica:

∫ 0 1 ∫ x e x x + y   d y   d x

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a y , vamos pegar essa integral:

∫ x e x x + y   d y ∴

Aplicando a regra da soma e desenvolvendo, temos:

= ∫ x e x x   d y + ∫ x e x y   d y ∴

= x y + y 2 2 e x x ∴

= x e x + e 2 x 2 - 3 x 2 2

Agora vamos integrar em relação a x .

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 1 ∫ x e x x + y   d y   d x = ∫ 0 1 x e x + e 2 x 2 - 3 x 2 2 d x ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 0 1 x e x d x + ∫ 0 1 e 2 x 2 d x - ∫ 0 1 3 x 2 2 d x ∴

= x e x - e x 1 0 + e 2 - 1 4 - 3 2 x 3 3 1 0 ∴

= 1 2 + e 2 - 1 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 1 2 + e 2 - 1 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .