Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Questão 1: Calcule a integral dupla

∬ D   x   d x d y

Onde

D = x ,   y ∈ R 2   : x ≥ 1       e         x 2 + y 2 ≤ 4 .

Passo 1

Nossa primeira tarefa em integrais duplas como essa é descrever de alguma forma a região que está sendo usada para integrar a função. E assim, é uma ótima prática antes desenhar a região para entender o que fazer com essa descrição. Vamos nessa?!

A nossa região basicamente é formada pelo círculo de raio 2 e centrado na origem:

Porém, o enunciado nos delimita esse círculo dizendo que só queremos os pontos que tem x ≥ 1 . POW! x = 1 é uma reta passando em x = 1 e paralela ao eixo y . O sinal de maior significa que vamos pegar os pontos a sua direita:

Prontinho! Essa é a nossa região D !

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Passo 2

Perceba que podemos descrever essa função como uma região o tipo 1 , onde o x varia em um intervalo numérico bem definido:

1 ≤ x ≤ 2

E o y varia de uma base ao um teto:

B a s e ≤ y ≤ T e t o

Onde o teto representa a parte de cima do círculo, e a base, a parte de baixo...

P a r t e   d e   b a i x o ≤ y ≤ P a r t e   d e   c i m a

De onde vêm essas duas partes? ORA! Da equação da circunferência que delimita o círculo...

x 2 + y 2 = 4               →                 y 2 = 4 - x 2           →

y = ± 4 - x 2

A parte de baixo é aparte negativa da raiz, enquanto a positiva...

- 4 - x 2 ≤ y ≤ 4 - x 2

Passo 3

Com isso, vamos para a integral...

∬ D   x   d x d y = ∫ 1 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 x   d y d x =

∫ 1 2 x ∫ - 4 - x 2 4 - x 2   d y d x = ∫ 1 2 x y - 4 - x 2 4 - x 2 d x =

∫ 1 2 x 4 - x 2 - - 4 - x 2 d x = ∫ 1 2 2 x 4 - x 2   d x =

Para calcular essa integral aí, é válida uma mudança simples...

4 - x 2 = u         →

d u = - 2 x d x             o u           2 x d x = - d u

Mudando também os limites...

x = 1           →                 u = 4 - 1 2 = 3

x = 2           →                 u = 4 - 2 2 = 0

∫ 1 2 2 x 4 - x 2   d x = ∫ 3 0 u   - d u

Sabemos que podemos inverter a ordem de integração se multiplicarmos por - 1 ...

∫ 3 0 u   - d u = ∫ 0 3 u   d u = 2 3 u 3 2 0 3 =

2 3 ⋅ 3 3 - 0 = 2 3

Resposta

2 3

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