Calcule a integral ∫ ∫ S 3 x d S , onde S é a região triangular com vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0 , - 2,0 ) e ( 0,0 , 4 ) .

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Esta é uma questão de cálculo de volume por integral dupla, temos que o volume desejado é

V =   ∫ ∫ S 3 x d S

e a região S delimita o nosso volume! Temos que ela é a região triangular com vértices em ( 1,0 , 0 ) , ( 0 , - 2,0 ) e ( 0,0 , 4 ) que indica um plano arbitrário! Quando temos uma integral desta forma, podemos escrever o elemento d S utilizando que

V =   ∫ ∫ S 3 x d S = ∫ ∫ D 3 x ( u , v ) | r u × r v | d A

Ou seja, precisamos de uma parametrização! Vamos tentar visualizá-la! Vem comigo!

Passo 2

Temos que estes três vértices geram um plano, e a equação geral do plano é tal que

a x + b y + c z + d = 0

em que a , b , c são os componentes do vetor normal ao plano e d é obtido conhecendo um ponto pertencente ao plano em questão! Podemos obter o vetor normal construindo dois vetores que pertencem ao plano, por exemplo, os vetores

B A   =   ( 0 , - 2,0 ) - ( 1,0 , 0 )   =   ( - 1 , - 2,0 )

em que chamei o vértice B = ( 0 , - 2,0 ) e o vértice A = ( 1,0 , 0 ) . Da mesma forma, podemos montar o vetor

C A   =   ( 0,0 , 4 ) - ( 1,0 , 0 )   =   ( - 1,0 , 4 )

O vetor normal ao plano pode ser obtido fazendo

Resolvendo o determinante, temos que

B A × C A = ( - 8 - 0 ) x ^ + ( 0 - ( - 4 ) ) y ^ + ( 0 - 2 ) z ^ = ( - 8,4 , - 2 )

De forma, que a equação do plano deve obedecer

- 8 x + 4 y - 2 z + d = 0

Se usarmos que o ponto A = ( 1,0 , 0 ) pertence ao plano, temos finalmente que

- 8 ( 1 ) + 4 ( 0 ) - 2 ( 0 ) + d = 0

e, portanto, temos que d = 8 , e a equação do plano é

- 8 x + 4 y - 2 z + 8 = 0

Vamos utilizar isso para facilitar a nossa parametrização! Bora lá!

Passo 3

Se usarmos então a equação do plano para obter que

z = - 4 x + 2 y + 4

Usando que x = u e y = v , temos a seguinte parametrização

r ( u , v ) = ( u , v , - 4 u + 2 v + 4 )

Agora precisamos das derivadas parciais

r u = ∂ ∂ u [ ( u , v , - 4 u + 2 v + 4 ) ] = ( 1,0 , - 4 )

e da mesma forma, podemos obter que

r v = ∂ ∂ v [ ( u , v , - 4 u + 2 v + 4 ) ] = ( 0,1 , 2 )

O produto vetorial que precisamos é tal que

Resolvendo o determinante obtemos que

r u × r v = ( 0 - ( - 4 ) ) x ^ + ( 0 - 2 ) y ^ + ( 1 - 0 ) z ^ = ( 4 , - 2,1 )

Que tem como módulo a seguinte expressão

| r u × r v | = ( 4 ) 2 + ( - 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 21

Finalmente, podemos escrever a nossa integral como

V = ∫ ∫ D 3 u 21 d A = 3 21 ∫ ∫ D u d u d v

Ainda precisamos ver quais são os limites de integração! Vamos fazer isso agora!

Passo 4

A nossa superfície é delimitada pelo plano

z = - 4 x + 2 y + 4

obtido através dos três vértices A = ( 1,0 , 0 ) , B = ( 0 , - 2,0 ) e C = ( 0,0 , 4 ) . E, temos a seguinte parametrização

r ( u , v ) = ( u , v , - 4 u + 2 v + 4 )

Se escolhermos integrar primeiro em u , temos os limites dados pelos valores de x que vão de 0 à 1 . No entanto, para a integral de dentro devemos tomar cuidado com a limitação gerada pela função.

Note que a coordenada z vai de 0 à 4 , e portanto, temos que em z = 0 obtemos a seguinte reta

0 = - 4 u + 2 v + 4

isolando v em termos de u , temos que v = 2 u - 2 , e também temos que para z = 4 , obtemos que

4 = - 4 u + 2 v + 4

temos a reta v = 2 u . Portanto, a nossa integral é então dada por

V = 3 21 ∫ ∫ D u d u d v = 3 21 ∫ 0 1 u [ ∫ 2 u - 2 2 u d v ] d u

vamos resolver esta integral agora! Saca só!

Passo 5

A integral interior é simplesmente dada por

∫ 2 u - 2 2 u d v = v | 2 u - 2 2 u = 2 u - ( 2 u - 2 )

Obtendo então que

∫ 2 u - 2 2 u d v = 2

Então, nosso volume é tal que

V = 3 21 ∫ 0 1 u [ 2 ] d u = 6 21 ∫ 0 1 u d u

podemos identificar a primitiva como

∫ 0 1 u d u = ∫ 0 1 u 1 / 2 d u = 1 1 / 2 + 1 [ u 1 / 2 + 1 ] 0 1

ou, avaliando os limites , temos que

∫ 0 1 u d u = 1 3 / 2 [ 1 3 / 2 - 0 3 / 2 ] = 2 3

Portanto, nosso volume é simplesmente

V = 6 21 ∫ 0 1 u d u = 4 21

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ ∫ S x d S = 4 21

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