Determine:

a)

∫ ∫ y d A D

Onde D é a região entre os gráficos das funções y = x e y = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral dupla:

∫ ∫ y d A D

Onde D é a região entre os gráficos das funções y = x e y = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 2 .

Primeiro, temos que analisar a nossa região de integração...

Bom... A região D é definida pelas curvas y = x e y = x 2 no plano x y com 0 ≤ x ≤ 2 . Portanto, a região D é limitada pelo eixo x à esquerda, pela parábola y = x 2 à direita e pelo segmento de reta y = x no topo.

Nesse sentido, vemos que y varia de x 2 até x . E x varia de 0 a 2 .

Assim, a nossa integral dupla fica:

∫ 0 2 ∫ x 2 x y   d y   d x

Eaí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Bom... Integrando primeiro em relação a y , vamos pegar essa integral:

∫ x 2 x y   d y ∴

= y 2 2 x x 2 ∴

= x 2 - x 4 2

Agora vamos integrar em relação a x .

Passo 3

Agora, aplicando o resultado na integral mais externa, temos:

∫ 0 2 ∫ x 2 x y   d y   d x = ∫ 0 2 x 2 - x 4 2 d x ∴

Aplicando a regra da soma/diferença e desenvolvendo, temos:

= ∫ 0 2 x 2 2 d x - ∫ 0 2 x 4 2 d x ∴

= 1 2 ∫ 0 2 x 2 d x - 1 2 ∫ 0 2 x 4 d x ∴

= 1 2 x 3 3 - x 5 5 2 0 ∴

= - 28 15

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= - 28 15

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