O valor da integral

∬ D x 2 - y 2   c o s c o s   1 2 x + y 2   d x   d y

Onde D é o paralelogramo de vértices 0,0 , π 4 , - π 4 , π 2 , 0 e π 4 , π 4 é:

  1. π 2 16 s i n s i n   π 2 8  
  2. π 2 64 s i n s i n   π 2 2  
  3. - π 2 64 1 - s i n s i n   π 2 2  
  4. π 2 32 s i n s i n   π 2 4  
  5. π 2 32 s i n s i n   π 2 2  

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

O problema nos pede para calcularmos a área de um paralelogramo. Como sabemos que essa é a área? Porque temos d x   d y que representa d A que é o elemento infinitesimal de área. Sendo assim, como é o nosso gráfico do paralelogramo?

Então como que fazemos para achar a área desse paralelogramo? Temos que achar os limites de integração das variáveis x e y e enfim integrar na nossa função monstrinha que é x 2 - y 2   c o s c o s   1 2 x + y 2   . Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Podemos avaliar como é nossa região de integração. Já demos antes, lembra?

Como que podemos dividir essa área para ficar fácil para integração?! Podemos dividir em 4 partes e ver como que fica, saca só:

Veja como separamos! É uma maneira de separarmos o paralelogramo (ou mesmo qualquer outra figura, é bacana separarmos as nossas regiões de integração dessa maneira). “E Mogli, o que são essas setas?” Elas apontam a direção de integração que estamos operando, para cima para y e para a direita para x .

Então vamos observar as 4 partes e como ficam os limites de integração?

Passo 3

Uma maneira bacana para definirmos os limites de uma variável é pensarmos que os limites batem em uma parede, e ver qual que é essa parede que ele bate. Parece confuso, né?! Mas segue junto, porque vamos fazer isso muitas vezes nesse problema.

Para a primeira parte:

Vemos que x = 0 e bate numa parede que é x = π 4 . Mas e y ? Vemos que y sai de y = 0 e bate em uma reta. Que reta é essa? Bom, como podemos ver é uma reta que liga os pontos ( 0,0 ) e π 4 , π 4 . OK, sabendo disso podemos achar a equação da reta, certo?

Esta é uma técnica geral para acharmos a equação de uma reta que liga dois pontos. Isto é: colocamos os dois pontos e o ponto geral x e y , e sempre na última coluna colocamos 1 , e assim encontrar o determinante. Saca só:

0   0   1   π 4   π 4   1   x   y   1   = 0

Então para acharmos a equação da reta basta aplicarmos a regra de Cramer. Logo:

π x 4 - π y 4 = 0 → x = y

Como saber se essa é mesmo a reta que liga esse pontos? Basta vermos no gráfico:

Sim! Ela é realmente a reta que liga os pontos ( 0,0 ) e π 4 , π 4 . Então como já sabíamos é uma técnica eficaz e vamos continuar usando nos próximos passos para acharmos as retas que ligam os pontos.

Voltando ao nosso raciocínio y sai da parede y = 0 e bate na parede y = x .

Em resumo para a região 1:

x ∈ 0 , π 4

y ∈ 0 , x

Para a segunda parte:

Vemos que x sai da parede x = π 4 e anda até bater na parede x = π 2 . E para y ? Bom, podemos ver que y sai da parede y = 0 e anda até uma parede. Que parede é essa? É a parede que é uma reta que liga os pontos π 4 , �� 4 e π 2 , 0 . Ok, pela mesma técnica que aplicamos anteriormente:

π 2   0   1   π 4   π 4   1   x   y   1   = 0

Então para acharmos a equação da reta basta aplicarmos a regar de Cramer. Logo:

π x 4 + y π 2 - π 2 8 - π y 4 = 0

Dividindo tudo por y :

y 4 = - x 4 + π 8 → y = - x + π 2

Então voltando ao raciocínio, temos que y sai da parede y = 0 e anda até a parede y = - x + π 2

Em resumo para a região 2:

x ∈ π 4 , π 2

y ∈ 0 , - x + π 2

Para a terceira parte:

Vemos que x = 0 e bate numa parede que é x = π 4 . Mas e y ? y sai de uma reta que liga os pontos ( 0,0 ) e π 4 , - π 4 e bate na parede y = 0 . Dissemos que ela sai de uma reta, que reta é essa? Bom sabendo que é uma reta que liga os pontos ( 0,0 ) e π 4 , - π 4 , então a equação dela é:

0   0   1   π 4   - π 4   1   x   y   1   = 0

Então para acharmos a equação da reta basta aplicarmos a regar de Cramer. Logo:

π x 4 + π y 4 = 0 → x = - y

Então voltando ao raciocínio, temos que y sai da parede y = - x e anda até a parede y = 0

Em resumo para a região 3:

x ∈ 0 , π 4

y ∈ - x , 0

Para a quarta e última parte:

Vemos que x sai da parede x = π 4 e anda até bater na parede x = π 2 . Mas novamente, e y ? Vemos que y sai de uma reta que liga os pontos π 4 , - π 4 e π 2 , 0 e percorre até bater na reta y = 0 . Dissemos que ela sai de uma reta, que reta é essa? Bom sabendo que é uma reta que liga os pontos π 4 , - π 4 e π 2 , 0 então a equação dela é:

π 2   0   1   π 4   - π 4   1   x   y   1   = 0

Então para acharmos a equação da reta basta aplicarmos a regar de Cramer. Logo:

- π x 4 + y π 2 + π 2 8 - π y 4 = 0

Dividindo tudo por y :

y 4 = - x 4 + π 8 → y = + x - π 2

Então voltando ao raciocínio, temos que y sai da parede y = + x - π 4 e anda até a parede y = 0

Então resumindo para a região 4:

x ∈ π 4 , π 2

y ∈ + x - π 2 , 0  

E agora que já temos todas as regiões, basta integrarmos.

Passo 4

Então temos a nossa integral de área nas 4 regiões:

A = ∫ R 1 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2     d A + ∫ R 2 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2     d A + ∫ R 3 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2     d A + ∫ R 4 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2     d A

Onde R i com i = 1,2 , 3,4 , são as regiões que acabamos de definir. Qual ordem de integração devemos fazer, d x d y ou d y d x ? Claro que d y d x , certo? Porque tomamos todas as variáveis y em função de x . Aplicando os limites de integração, temos:

A = ∫ 0 π 4 ∫ 0 x x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2   d y   d x + ∫ π 4 π 2 ∫ 0 - x + π 2 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2   d y   d x +   ∫ 0 π 4 ∫ - x 0 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2   d y   d x +   ∫ π 4 π 2 ∫ + x - π 4 0 x 2 - y 2 c o s c o s   1 2 x + y 2   d y   d x

Eu sei o que pensa ao ver esse abacaxi:

Mas saca só que vamos usar uma malandragem no próximo passo.

Passo 5

Você não pensou que iríamos resolver essa integral, né?

Aqui uma declaração que devemos fazer: Embora tenhamos feito tudo até aqui, devemos lembrar que é uma prova que foi feita online, e, portanto, devemos realizar a prova nas mesmas circunstâncias que eles. E por que isso? Porque nesse momento chegamos em uma integral que só pode ser realizada por métodos computacionais numéricos, então vamos ver o que o computador nos dá?

Pelo desmos:

Só o Desmos foi capaz de calcular huehue. Mas então, o que garante que estamos certo? Vamos ver com qual alternativa o nosso resultado bate? Temos as respostas:

E vemos que o nosso resultado bate com π 2 16 s i n s i n   π 2 8   , que é a alternativa a)

Então, a alternativa a) é a correta.

RAAAAAPAAAAZ, essa foi ossada não foi?! Mas você chegou até aqui junto comigo 😊. Muito obrigado e até a próxima!

Resposta

Alternativa a)

π 2 16 s i n s i n   π 2 8  

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