Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 55

Encontre a área da região R limitada pela parábola y = x 2 e pela reta y = x + 2 utilizando integral dupla:

  1. 7 2   u . a
  2. 9 2   u . a .
  3. 5 2   u . a .
  4. 1 2   u . a .
  5. 3 2   u . a .

Passo 1

Em questões como essa, é uma boa ideia fazer um esboço da região. As duas funções tem gráficos simples, que nós já sabemos desenhar:

Nosso objetivo é calcular a área dessa região verde! Temos que montar uma integral como essa:

A = R d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora dê uma olhada na figura. Todos os pontos daquela área têm coordenada x nesse intervalo aqui:

- 1 x 2

Se o seu desenho já não te der essa resposta, você pode achar esses dois valores igualando as funções:

x 2 = x + 2

x 2 - x - 2 = 0

x + 1 x - 2 = 0

Ou seja, as funções se cruzam nos pontos x = - 1 e x = 2

Então beleza, nossa integral vai passar por todos os pontos desse intervalo no eixo x .

Depois temos que nos fazer a seguinte pergunta: para cada x fixo nesse intervalo, entre quais valores o y varia?

Isso também é fácil de ver na imagem: o y varia entre duas funções!

x 2 y x + 2

Então nossa integral vai ficar assim:

A = - 1 2 x 2 x + 2 d y   d x

Passo 3

O próximo passo é resolver a integral para calcular a área:

A = - 1 2 x 2 x + 2 d y   d x

Integrando em relação a y , obtemos o seguinte:

A = - 1 2 x + 2 - x 2   d x

A = - 1 2 ( - x 2 + x + 2 )   d x

A integral indefinida de desse polinômio é - x 3 3 + x 2 2 + 2 x , então:

A = - 2 3 3 + 2 2 2 + 2 2 - - - 1 3 3 + - 1 2 2 + 2 - 1

A = - 8 3 + 4 2 + 4 - 1 3 + 1 2 - 2 = - 8 3 + 2 + 4 - 1 3 - 1 2 + 2

A = - 9 3 + 8 - 1 2 = - 3 + 8 - 1 2 = 5 - 1 2 = 9 2

Resposta

Letra (b).

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