Exercício 1. Calcule

(d) ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de sin ⁡ x cos ⁡ y com y variando de 0 a π 2 e x variando de 0 a π 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y d x

Integrando com relação a y pelo teorema fundamental do cálculo...

∫ sin ⁡ x cos ⁡ y d y = sin ⁡ x sin ⁡ y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y = sin ⁡ x sin ⁡ π 2 - sin ⁡ x sin ⁡ 0

∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y = sin ⁡ x

Integrando o resultado em função de x

∫ sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y d x = ∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x = - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y d x = 1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x cos ⁡ y d y d x = 1

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