2 - A área de uma superfície determinada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z = f x , y definida numa região R ⊂ R 2 é dada pela fórmula

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Se f é dada implicitamente pela equação F x , y , z = 0 , então

A = ∫ ∫ R ∇ F x , y , z ∂ F x , y , z ∂ z d A

onde z = f x , y e supondo que nesse caso ∂ F x , y , z ∂ z ≠ 0 no interior de R . Determine a área das seguintes superfícies:

b) A parte da superficie z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão parece um pouquinho difícil, não é?

A ideia dessa questão é nos mostrar uma aplicação de integrais duplas. No caso temos uma função z = f x , y onde z = x y e o que queremos saber é a área dessa superfície que está dentro da região limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Mas como vamos calcular uma área dessa forma?

Pra isso, a questão nos deu uma equação dada nesse caso por

A = ∫ ∫ R 1 + ∇ f x , y 2 d A

Então o que devemos fazer é calcular o gradiente de f , encontrar os limites de integração da região R e calcular a integral!

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter o gradiente de f . Lembra como que faz?

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Derivando f com relação a x , temos

∂ f ∂ x = y

Já derivando f com relação a y , temos

∂ f ∂ y = x

Com isso, nosso gradiente é

∇ f x , y = y , x

Calculando o modulo desse vetor

∇ f x , y = y 2 + x 2

∇ f x , y = x 2 + y 2

Como na função de integração de A , usamos ∇ f x , y 2 , vamos elevar ao quadrado nosso modulo.

Sabemos que qualquer raiz de um número em que a raiz é elevada ao quadrado, resultamos no numero dentro da raiz, ou seja

∇ f x , y 2 = x 2 + y 2 2

∇ f x , y 2 = x 2 + y 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos dar uma olhada na nossa região de integração R .

Foi dito que R é limitada pela equação x 2 + y 2 = 1 ou seja um cilindro. Mas por agora, queremos saber a projeção desse cilindro no plano x y .

Pegando um cilindro na mão e olhando ele de cima, o que vemos?

Um círculo, não é?

Logo nossa região R é dada por

Lembre-se que se temos algo redondo na nossa região de integração, temos que usar coordenadas polares.

Os limites de integração nesse caso, são dados pelas variações do raio r e do ângulo θ . Observando a região, vemos que a variação de r vai de 0 a 1 . Já a variação de θ vai de 0 a 2 π , já que estamos interessados em todo o círculo.

Também precisamos converter nossa função de integração para coordenadas polares também. Substituindo x por r c o s θ , y por r s e n θ e x 2 + y 2 por r 2 , temos

f x , y = 1 + x 2 + y 2 → f r , θ = 1 + r 2

Com isso, sem esquecer do jacobiano r nossa integral é dada como

∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + r 2 r d r d θ

Bora calcular ela? 😎

Passo 4

Primeiro integrando com relação a r , temos

∫ r 1 + r 2 d r

Se aplicarmos o método de substituição u d u onde u = 1 + r 2 e d u d r = 2 r , logo d x = 1 2 r d u .

∫ u 2 d u

Integrando pelo método polinomial, onde somamos 1 no expoente e dividimos a variável pelo resultado da soma

∫ u 2 d u = 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 3 u 3 2

Substituindo u de volta, temos

∫ r 1 + r 2 d r = 1 3 1 + r 2 3 2

Aplicando os limites de integração em r

∫ 0 1 r 1 + r 2 d r = 1 3 1 + 1 2 3 2 - 1 3 1 + 0 2 3 2

∫ 0 1 r 1 + r 2 d r = 2 2 3 - 1 3

Com base nesse resultado, integramos com relação a θ

Passo 5

Nossa integral é

∫ 2 2 - 1 3 d θ

Como nossa função de integração é uma constante, então nossa integral é a própria constante multiplicada pela variável de integração

∫ 2 2 - 1 3 d θ = 2 2 - 1 3 θ

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π 2 2 - 1 3 d θ = 2 2 - 1 3 2 π - 0

∫ 0 2 π 4 2 - 2 3 d θ = 4 π 2 - 2 π 3

Com isso, a gente encontra que a área da superfície z = x y dentro da região limitada por x 2 + y 2 = 1 é igual a 4 π 2 - 2 π 3 !

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

4 π 2 - 2 π 3

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