Exercício 1. Calcule

(n) ∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d y d x

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, queremos calcular a integral dupla de y e x - y com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

Para calcular uma integral dupla de uma função f x , y , observamos a ordem de integração, caso tenhamos d y d x primeiro integramos com relação a y e dois com relação a x . Se for o contrário d x d y , primeiro integramos em x e depois em y .

Já os limites de integração podem ser interpretados como os meios com os meios e os extremos com os extremos...

Onde c ≤ x < d e a ≤ y < b , por exemplo.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Nesse caso, temos

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d y d x

Integrando com relação a y pelo método de integração por partes...

∫ y e x - y d y = e x - e - y y - ∫ - e - y d y

∫ y e x - y d y = e x - e - y y - e - y

∫ y e x - y d y = - e x e - y y + e - y

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 y e x - y d y = - e x e - 2 2 + e - 2 - - e x e - 0 0 + e - 0

∫ 0 2 y e x - y d y = - e x 3 e - 2 + e x

∫ 0 2 y e x - y d y = 1 - 3 e - 2 e x

Integrando o resultado em função de x ...

∫ 1 - 3 e - 2 e x d x = 1 - 3 e - 2 e x

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d y d x = ∫ 0 1 1 - 3 e - 2 e x d x = 1 - 3 e - 2 e 1 - 1 - 3 e - 2 e 0

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d y d x = 1 - 3 e - 2 e - 1

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d y d x = 1 - 3 e - 2 e - 1

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