Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 169

Calcule D   x + y d x d y , onde D é o triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0).

Passo 1

Vamos fazer um esboço desse triângulo para visualizar melhor o problema

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Devemos, agora, escrever essa região de forma matemática. Perceba y varia entre 2 números: 0 e 1 , assim, temos 0 y 1 . Já em x , essa área é limitada na esquerda pela reta azul e na direita pela vermelha, certo? Assim, podemos escrever essa região como do tipo II, basta encontrar as equações dessas retas.

Para a reta azul

Temos dois pontos que pertencem a essa reta, ( - 1,0 ) e ( 0,1 ) , vamos substituí-los na equação geral de uma reta: y = a x + b . Teremos:

0 = - a + b 1 = b

0 = - a + 1

a = 1

Substituindo a e b , vemos que a reta será escrita como y = x + 1 . Porém, como nossa região será escrita como do tipo II, devemos isolar o x , ou seja, achar x em função de y .

x = y - 1

Para a reta vermelha

Usando o mesmo raciocínio para descobrir a equação dessa reta, vamos substituir os pontos ( 0,1 ) e ( 1,0 ) na equação geral da reta. Teremos:

1 = b 0 = a + b

a = - 1

Substituindo a e b , encontramos y = - x + 1 . Isolando novamente o x , teremos:

x = 1 - y

Assim, o domínio será escrito como:

D = { ( x , y ) | 0 y 1 ; y - 1 x 1 - y }

Passo 3

Agora vamos montar a integral! Basta substituir os intervalos que acabamos de encontrar.

D   x + y d x d y = 0 1   y - 1 1 - y x + y   d x d y =

Passo 4

Devemos, então, integrar em relação a x :

= 0 1   x 2 2 + x y x = y - 1 x = 1 - y d y =

= 0 1   1 - y 2 2 + 1 - y y - y - 1 2 2 + y - 1 y   d y =

= 0 1   ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 + y 2 - y   d y =

= 0 1 ( 1 - 2 y + y 2 ) 2 + y - y 2 - ( y 2 - 2 y + 1 ) 2 - y 2 + y   d y =

0 1 1 2 - y + y 2 2 + y - y 2 - y 2 2 + y - 1 2 - y 2 + y   d y =

= 0 1 - 2 y 2 + 2 y   d y =

Passo 5

Vamos integrar, então, em relação a y :

= - 2 y 3 3 + 2 y 2 2 y = o y = 1 =

= - 2 × 1 3 + 1 - 0 =

Resposta

1 3

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