Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 2a

  1. Use integral dupla para calcular a área da região limitada por:

x = y 3 ,           x + y = 2 ,           y = 0

Passo 1

Pois bem! Em problemas como esse devemos sempre começar fazendo um esboço da região. Mas não se preocupe, pois fazer isso significa colocar no plano X Y todas as curvas dadas. Vamos começar aqui colocando as mais simples primeiro: x + y = 2 e y = 0 .

A primeira, x + y = 2 , nada mais é do que uma reta, afinal de contas

x + y = 2                   y = 2 - x

e a segunda y = 0 , bem... essa é o próprio eixo x .

Agora, quanto a terceira, x = y 3 , preciso de você certa atenção, pois isolando, nós temos...

x = y 3             y = x 3

e todo gráfico de raiz de x forma tem essa cara

Porém...! Como estamos falando de raiz cúbica, ela deve valer para os negativos também, nos gerando...

Beleza?

O legal é que já dá pra ver que região (chamaremos de R ) estamos trabalhando! :D

Agora temos que descrever essa região, e vamos fazer isso descrevendo em qual tipo? Do tipo 2! Isso porque é muito mais fácil encontrar as funções em que x está variando e deixar y variando entre dois valores!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesse tipo de região, devemos ter que y varia em um intervalo numérico bem definido.

O y vai estar variando do 0 até o ponto onde as curvas azul e vermelha se encontram! Então é só resolvermos o sistema:

x + y = 2 x = y 3

Substituindo a segunda equação na primeira:

y 3 + y = 2

E é tranquilo ver que a única solução real disso é o 1 !

Logo:

0 y 1

Passo 3

Bem...! Quanto à variação do x dentro dessa região, ele entra na equação na curva vermelha x = y 3 ...

e sai na reta azul x = 2 - y

Ou seja

C u r v a   v e r m e l h a x R e t a   a z u l

y 3 x 2 - y

Passo 4

Como você já deve saber, área de uma região R a essa altura do campeonato é:

A = R   1   d A

como a região acabamos de descrevê-la

0 y 1

y 3 x 2 - y

Podemos simplesmente substituir na integral dupla (mas não se esqueça que o limite numérico sempre vem primeiro ):

0 1 y 3 2 - y 1   d x d y

Bora resolver essa integral aí?

Passo 5

Primeiro calculemos a integral de dentro...

0 1 y 3 2 - y 1   d x d y = 0 1 y 3 2 - y 1   d x d y =

0 1   x y 3 2 - y d y =

Substituindo os limites de integração em x ...

0 1 2 - y - y 3   d y =

0 1 2 - y - y 3   d y =

Calculando essa integral...

2 y - y 2 2 - y 4 4 0 1 =

substituindo os limites encontramos...

2 - 1 2 - 1 4 - 0 - 0 - 0 =

5 4

Resposta

5 4

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas