12 - Calcule ∫ ∫ R e y - x y + x d x d y , onde R é a região triangular limitada pela reta x + y = 2 e os eixos coordenados.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Aqui nessa questão temos que calcular a integral dupla de e y - x y + x dentro da região R onde R é limitada pelos eixos coordenados e pela reta x + y = 2 .

Essa função de integração assusta, não é? 👀

O que estamos fazendo na verdade é calcular o volume de uma caixa triangular com a tampa em um formato que é descrita pela função e y - x y + x .

Nesses casos, a primeira coisa que temos que fazer é visualizar a região R pra obter os limites de integração.

Se plotarmos as curvas que delimitam R , temos

Essa região hachurada em cinza é nossa região R !

Interessante, não é? 😁

Passo 2

Agora vamos determinar os limites de integração. Primeiro analisando os limites em x , vemos os limites da região R na horizontal.

A região R é limitada na direita pela reta vermelha e pela esquerda pela reta verde, correto?

Ou seja, limitado pelas curvas x + y = 2 e x = 0 . Isolando x em um lado da equação, temos x = 2 - y e x = 0 .

Com isso, nossos limites de integração em x é 2 - y e 0 .

Como já levamos as curvas em consideração, em y vamos olhar apenas para os maiores valores que a região atinge.

Com isso, vemos que a região R é limitada entre 1 e 0 em y , logo esses serão nossos limites de integração.

Portanto nossa integral será da seguinte forma

∫ 0 1 ∫ 0 2 - y e y - x y + x d x d y

Mas e aí? Como vamos calcular essa integral? 👀

Passo 3

Se você conseguir, me manda uma mensagem porque você é um mito!

O que podemos fazer para facilitar nossa vida é fazer algumas substituições.

É quase impossível calcular essa integral desse jeito, mas e se substituirmos u por x + y e v por x x + y ?

Com essa mudança, ao invés de calcularmos d x d y , calculamos d u d v .

Mas então e os limites de integração?

Temos

v = x x + y

x + y v = x

Como u = x + y

x = u v

Então

u = u v + y

y = u - u v

Se x = 0 , y = 0 e x + y = 2 limitam nossa região, então para os limites mínimos, temos

0 = u - 0

u = 0

E também

0 = u v → v = 0 u

v = 0

Já para os limites máximos, se x + y = 2 e u = x + y , então

u = 2

No máximo valor em x , temos

x = u v

2 = 2 v

v = 1

Dessa forma, nosso d u d v é limitado por 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 1 .

Um pouco difícil, não é? Mas relaxa, a pior parte já passou!

Passo 4

E nossa função de integração, como fica?

Podemos escrever o expoente de e y - x y + x como

y - x y + x = u u - 2 v

y - x y + x = y + x y + x - 2 x y + x

y - x y + x = y - x y + x

Logo nossa função de integração é e u u - 2 v ou de forma mais simples e 1 - 2 v .

Como fizemos essa mudança de variável, temos que calcular nosso jacobiano. Lembra como calculamos?

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Sendo que x = u v e y = u - u v

Calculando as derivadas parciais, temos

J = v u 1 - v - u

Calculando o determinante, temos

J = - u v - u 1 - v

J = - u v - u - u v

J = - u v - u + u v

J = - u

Como o jacobiano é dado em módulo, então

J = u

Com isso, nossa integral é dada finalmente por

∫ 0 2 ∫ 0 1 e 1 - 2 v u d v d u

Agora já sabemos bem continuar!

Passo 5

Podemos utilizar o método da separação quando temos uma integral dupla onde a função de integração é dada por ∫ ∫ f x f y d x d y podemos reescreve-la como ∫ f x d x ∫ f y d y . Ou seja

∫ 0 2 u d u ∫ 0 1 e 1 - 2 v d v

A integral de u sabemos que podemos obter pelo método de integração polinomial.

∫ u d u = u 1 + 1 1 + 1 = u 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 u d u = 2 2 2 - 0 2 2

∫ 0 2 u d u = 2

Já a integral de e 1 - 2 v é obtida pelo método da substituição u = 1 - 2 v

∫ e 1 - 2 v d v = ∫ - 1 2 e u d u

∫ - 1 2 e u d u = - 1 2 e 1 - 2 v

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 e 1 - 2 v d v = - 1 2 e 1 - 2 1 - - 1 2 e 1 - 2 0

∫ 0 1 e 1 - 2 v d v = 1 2 e - e - 1

Calculando o produto dos dois resultados, temos

∫ 0 2 u d u ∫ 0 1 e 1 - 2 v d v = 2 1 2 e - e - 1

∫ 0 2 u d u ∫ 0 1 e 1 - 2 v d v = e - e - 1

Questão difícil, não é? Mas conseguimos chegar ao fim!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

e - e - 1

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