A massa do conjunto S = { x , y   ∈   R : y - 3 x ≤ 9 ,   x ≤ 0 ,   y ≥ 0     } cuja a densidade superficial é   δ x , y = x 2 +   4 ,   ∀   x , y ∈   R   é:

  1. 945 4
  2. 985 4
  3. 129 2
  4. 44 3
  5. 297 4

Passo 1

Olá amiguinho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Essa é uma questão bem típica de integração dupla, na realidade uma aplicação da integral dupla.

Ele te deu a densidade superficial e tu sabe lá da física, se tu tens a densidade superficial e multiplicá-la pela área tu tem a massa.

No matematiques é isso aqui:

m = δ * A

Porém nós temos que nossa densidade varia com a posição, logo:

∫ δ d A = m

Sendo assim, vamos primeiramente desenhar a região de integração e depois montar a nossa integral, para finalmente resolvê-la.

Iae bora lá?

Passo 2

Para desenhar nosso domínio de integração vamos precisar das seguintes equações:

x ≤ 0

y ≥ 0

y ≤ 3 x + 9

Todas as questões foram disponibilizadas pelo enunciado da questão.

Desenhando todas, o esboço do gráfico deve ficar algo assim:

Sendo assim, para encontrar o domínio de integração falta o valor que a função intercepta o eixo x , encontrando esse valor de x fazendo y = 0 = 3 x + 9 .

Sendo assim, temos que o domínio de integração ao longo do eixo x se torna:

- 3 ≤ x ≤ 0

Para encontrar o y temos que:

0 ≤ y ≤ 3 x + 9

Como notificado no enunciado.

Passo 3

Agora vamos montar nossa integral, temos que a massa é obtida pelo produto da densidade pela área, logo:

m = ∫ δ   d A = ∫ - 3 0 ∫ 0 3 x + 9 x 2 + 4   d y d x

Passo 4

Agora precisamos resolver a seguinte integral:

∫ - 3 0 ∫ 0 3 x + 9 x 2 + 4   d y d x

Primeiramente vamos integrar o y   porque nada nessa integral depende do y .

Sendo assim, temos que:

∫ - 3 0 x 2 + 4   ∫ 0 3 x + 9 d y d x =   ∫ - 3 0 x 2 + 4 y 3 x + 9   0   d x = ∫ - 3 0 x 2 + 4 3 x + 9 d x

Para resolver vamos realizar a distributiva:

∫ - 3 0 x 2 + 4 3 x + 9 d x = ∫ - 3 0 3 x 3 + 12 x + 9 x 2 + 36   d x

Realizando a integração do polinômio iremos chegar no seguinte resultado

m = ∫ - 3 0 ∫ 0 3 x + 9 x 2 + 4   d y d x = ∫ - 3 0 3 x 3 + 12 x + 9 x 2 + 36   d x = 297 4

Resposta

Resposta é Letra e)

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