Seja Ω o domínio representado na figura, onde A é a parte da circunferência x - 3 2 + y 2 = 9 , B é a parte da circunferência x - 1 2   + y 2 = 1 , C é a parte da circunferência x - 4 2 + y 2 = 4 . Reescrever a integral dupla

∬ Ω x + y d A

na forma iterada:

1. vendo Ω   como domínio de tipo 1

Passo 1

a) Pra nossa sorte, a questão está pedindo pra gente simplesmente escrever a integral como uma do tipo 1, e não resolvê-la. Então vamos lá. Precisamos lembrar que para escrever como do tipo 1, queremos o x variando entre constantes, enquanto o y varia entre funções, certo?

Bom, para isso então, vamos precisar separar em duas regiões:

Passo 2

Temos à direita a região que eu falhei tristemente em destacar de laranja e a região à esquerda que eu também falhei ao tentar destacar de rosa. O que vale é a intenção, né? Continuemos....

Se você for observar, podemos escrever que x varia na região rosa de 0   a   2 , e na região laranja de 2   a   6 .

Quanto a variação de y, observamos que na região rosa ela vai da circunferência B até A, e na região laranja vai de C até A.

Escrevendo a integral então ficamos:

∬ Ω x + y d A

∫ 0 2 ∫ 1 - x - 1 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x + ∫ 2 6 ∫ - 4 - x - 4 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x

Passo 3

Observa que separamos em duas integrais por termos separado em duas regiões.

Preciso também que você note quando usamos a parte superior e inferior da circunferência. Por exemplo, a curva A → x - 3 2 + y 2 = 9 ; queremos apenas a parte superior, então fazemos:

  x - 3 2 + y 2 = 9

y 2 = 9 - x - 3 2

y = ± 9 - x - 3 2

Como queremos só a parte de cima, ou seja, a positiva, ficamos então com y = 9 - x - 3 2

No caso da curva B, queremos a parte positiva, logo:

B → x - 1 2   + y 2 = 1

y = + 1 - x - 1 2

C queremos o lado negativo, logo:

C → x - 4 2 + y 2 = 4

y = - 4 - x - 4 2

Recapitulando, nossa integral descrita como uma do tipo 1 fica:

∫ 0 2 ∫ 1 - x - 1 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x + ∫ 2 6 ∫ - 4 - x - 4 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x

Resposta

∫ 0 2 ∫ 1 - x - 1 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x + ∫ 2 6 ∫ - 4 - x - 4 2 9 - x - 3 2 x + y   d y d x

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