1 – Calcular:

∬ R   1 x + y 2 d x d y

Em que R é a região delimitada por 3 ≤ x ≤ 4 , 1 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha por aí? Vamos dar uma olhada em como resolver essa questão? Vem comigo!

A primeira coisa que vamos fazer é tentar entender esse enunciado aí. O problema pediu pra gente calcular essa integral, que é uma integral dupla

∬ R   1 x + y 2 d x d y

E disse que é pra gente fazer isso na região R delimitada por 3 ≤ x ≤ 4 , 1 ≤ y ≤ 2 . Mas o que isso quer dizer?

Bom, quando o problema diz isso pra gente, o que nós teremos que fazer é substituir os limites de integração pelos extremos do intervalo que foi dado. Cuidado aqui ao fazer isso, pois como temos duas integrais pra resolver, a ordem que nós vamos colocar os limites deverá respeitar a ordem de resolução da integral. Sempre de dentro pra fora. Ok?!

Então, substituindo os limites de integração ficamos com:

∬ R   1 x + y 2   d x d y = ∫ 1 2 ∫ 3 4 1 x + y 2 d x   d y

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com d y e o da de dentro, com d x .

Agora vamos nos preocupar em resolver a integral e pra isso vamos utilizar o Teorema de Fubini, que diz que nós devemos fazer a integral de dentro, como se a de fora não existisse e depois, com o resultado da de dentro, fazer a integral de fora.

∫ 1 2 ∫ 3 4 1 x + y 2 d x   d y

Passo 2

Vamos resolver a integral de dentro. Aqui devemos integrar em relação a x ,   ou seja, resolver a integral de dentro (tomando y como constante).

∫ 1 2 ∫ 3 4 1 x + y 2 d x   d y

Vou separar ela aqui pra gente focar melhor no que está fazendo.

∫ 3 4 1 x + y 2 d x =

Para resolver essa integral precisaremos fazer uma substituição simples, então vamos chamar:

u = x + y

d u = d x

E a integral será:

∫ 1 u 2 d u = - 1 u

Voltando para x + y

∫ 3 4 1 x + y 2 d x = - 1 x + y x = 3 x = 4

Agora vamos aplicar o principio fundamental do cálculo substituindo os limites de integração na função que acabamos de encontrar. Lembrando que integramos e x , então a substituição será só em x . Ok?!

- 1 4 + y - - 1 3 + y

= - 1 4 + y + 1 3 + y

Show!!! E esse é o resultado da integral de dentro. Agora devemos fazer a integração de fora usando esse resultado como nossa função.

Passo 3

Devemos, então, integrar em relação a y , substituindo o valor que encontramos no passo 2.

∫ 1 2   - 1 4 + y + 1 3 + y d y

Que pode ser escrita como:

- ∫ 1 2   1 4 + y d y + ∫ 1 2   1 3 + y d y

E para cada uma das integrais acima, teremos que fazer uma substituição simples. Vamos começar com a primeira:

- ∫ 1 2   1 4 + y d y

Fazendo

u = 4 + y

d u = d y

E a integral se torna

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando para y , nossa integral se torna

- ∫ 1 2   1 4 + y d y = - ln ⁡ 4 + y

De forma análoga para a segunda integral podemos fazer

+ ∫ 1 2   1 3 + y d y

Fazendo

u = 3 + y

d u = d y

E a integral se torna

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Voltando para y , nossa integral se torna

+ ∫ 1 2   1 3 + y d y = ln ⁡ 3 + y

Juntando as duas integrais, ficamos com:

- ∫ 1 2   1 4 + y d y + ∫ 1 2   1 3 + y d y = - ln ⁡ 4 + y + ln ⁡ 3 + y y = 1 y = 2

Maravilha!!! Agora basta aplicar os limites de integração, ficando com

- ln ⁡ 4 + 2 + ln ⁡ 3 + 2 - - ln ⁡ 4 + 1 + ln ⁡ 3 + 1

- ln ⁡ 6 + ln ⁡ 5 - - ln ⁡ 5 + ln ⁡ 4

- ln ⁡ 6 + ln ⁡ 5 + ln ⁡ 5 - ln ⁡ 4

ln ⁡ 5 6 + ln ⁡ 5 4 = ln ⁡ 25 24

E prontinho, encontramos o valor da nossa integral dupla.

Partiu próxima?!!!

Resposta

∬ R   1 x + y 2 d x d y = ln ⁡ 25 24

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .