Calcule ∫ ∫ R y d x d y onde R é a região delimitada por y   =   x ,   y   =   2 x   e   y   =   4 - x ² . Desenhe a região R de integração.

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular a integral dada sobre uma região delimitada por duas retas com inclinações diferentes e pelo arco de circunferência de raio 2, dado pela equação y   =   4 - x ² Primeiro, vamos dar uma olhada na região R do plano xy, onde as curvas y = x ,   y = 2 x   e   y   =   4 - x ² , estão representadas, respectivamente, pelas curvas azul, verde e vermelha:

Da imagem, a gente vê que as coordenadas x e y não são as mais apropriadas para resolver a integral sobre essa região. Ao invés disso, coordenadas polares parecem muito mais apropriadas, já que queremos integrar a função sobre uma seção circular! Então, vamos fazer as seguintes transformações:

x   =   r   c o s θ

y = r   s e n θ

Fazendo essa transformação, temos que os nossos limites de integração para as coordenadas r e θ agora são

0 ≤ r ≤ 2

a r c t g ( 1 ) ≤ θ ≤ a r c t g ( 2 )

Onde os limites de θ se devem as retas com ângulos cujas tangentes são iguais à 1 e 2, respectivamente. Como a r c t g ( 1 ) = π 4 , temos que o limite inferior é simplesmente 45 graus. Agora que já escrevemos nossa região R em novas coordenadas, precisamos ver como o integrando se transforma. Então vamos lá!

Passo 2

Quando fazemos uma transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, temos que o elemento de área dA = dxdy não é simplesmente o produto dos diferenciais dr d θ nas novas coordenadas. Precisamos multiplicá-lo pelo determinante Jacobiano da transformação:

J = d e t   [ J ( x ( r , θ ) ,   y ( r , θ ) ) ] =   r c o s ² θ + r s e n ² θ = r

Então, em uma transformação dessa, temos que a integral de uma função f(x,y) se escreve na forma

∫ ∫ f ( x , y ) d A   =   ∫ ∫ f ( r , θ ) r d r d θ

Onde r é o determinante Jacobiano da transformação de coordenadas. Então, podemos escrever a nossa integral como

∫ ∫ R y d x d y = ∫ π 4 a r c t g ( 2 ) ∫ 0 2 r s e n ( θ ) r d r d θ = ∫ π 4 a r c t g ( 2 ) ∫ 0 2 r ² s e n ( θ ) d r d θ

Resolvendo essa integral, obtemos

∫ π 4 a r c t g ( 2 ) s e n ( θ ) d θ × 2 ³ 3 = 8 3 ∫ π 4 a r c t g ( 2 ) s e n ( θ ) d θ = 8 3 - c o s ( a r c t g ( 2 ) ) + c o s π 4 = 4 2 3 - 8 3 c o s ( a r c t g ( 2 ) )

Resposta

4 2 3 - 8 3 c o s ( a r c t g ( 2 ) )

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