Calcule as seguintes integrais duplas:

a)

Onde D = x , y : 0 ≤ x ≤ 1 ,     x 2 ≤ y ≤ x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral:

∫ x x ∫ 0 1 x y   d x d y

Para resolver ela, primeiro precisamos integrar em relação a y e depois em relação a x (por conta dos limites de integração) da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ x 2 x x y   d y d x

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, primeiro integrando em relação a y , temos:

∫ 0 1 x ∫ x 2 x y   d y d x ∴

= ∫ 0 1 y 2 2 x x 2 d x ∴

= ∫ 0 1 x 2 2 - x 2 2 d x ∴

= ∫ 0 1 x 2 - x 2 2 d x ∴

Agora, integrando em relação a x , temos:

= ∫ 0 1 x 2 d x - ∫ 0 1 x 2 2 d x ∴

= 1 2 ∫ 0 1 x   d x - 1 2 ∫ 0 1 x 2 d x ∴

= 1 2 x 2 2 - x 3 3 1 0 ∴

= 1 12

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ x x ∫ 0 1 x y   d x d y = 1 12

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