(Cap 15.3 – Ex 20) Calcule a integral dupla.

∬ D x y 2 d A

D é limitada por x = 0 e x = 1 - y 2 .

Passo 1

Falaiii gurizadaa, baum por dimais da conta?

Simbora pra mais um?

A região D é delimitada por x = 0     e   x = 1 - y 2

Esboçando a região:

Portanto analisando a região D , já podemos deduzir que é uma região do tipo II, já que x está representado entre funções de y , vamos igualar as equações, se acharmos valores de y entre constantes, temos realmente uma região deste tipo.

1 - y 2 = 0

Elevando ambos os lados ao quadrado

1 - y 2 = 0

y 2 = 1

y = ± 1

Então temos que

D = x , y - 1 ≤ y ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ 1 - y 2 }

Passo 2

Então temos que

∬ D x y 2 d A = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - y 2 x y 2   d x   d y

Agora é só integrar, primeiro em relação a x

= ∫ - 1 1 x 2 y 2 2 x = 0 x = 1 - y 2 d y = ∫ - 1 1 1 - y 2 y 2 2 d y

= ∫ - 1 1 y 2 - y 4 2 d y

Agora em relação a y

= y 3 6 - y 5 10 - 1 1 = 1 6 - 1 10 - - 1 3 6 - - 1 5 10

= 1 6 - 1 10 + 1 6 - 1 10 = 2 6 - 2 10

= 1 3 - 1 5 = 2 15

Resposta

= 2 15

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = 3 x 2 + y 2 e acima da região delimitada por y = x e x = y 2 - y
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_(x^2)^x ( 1 + 2 y ) d y d x
Calcule as integrais iteradas.int_0^1 int_0^(x^2) ( x + 2 y ) d y d x
Calcule a integral dupla.∬_D^() x^3 d A , D = {(x , y)| 1 = x = e , 0 = y = ln x }
Calcule a integral dupla. ∬ D y 3 d A D é a região triangular com vértices 0,2 ,( 1,1 ) e ( 3,2 ) .