(Cap 15.2 – Ex 21) Calcule a integral dupla.

∬ R y e - x y d A ,   R = 0,2 × [ 0,3 ]

Passo 1

Falaiii galerinha, show de bolinhas?

Sabemos que ...

Como essa região é um retângulo o diferencial de área é ou d x d y ou d y d x .

E isso e o que facilitará a ordem é a integração.

Iremos avaliar

∬ R y e - x y d A  

Onde sua região é

R = 0,2 × [ 0,3 ]

O teorema de Fubini

Se f é continua no retângulo

R = x , y   a ≤ x ≤ b ,   c ≤ y ≤ d }  

Portanto

∬ R f x . y d A = ∫ a b ∫ c d f x ,   y d y d x = ∫ c d ∫ a b f x ,   y d x d y

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, temos

∬ R y e - x y d A

= ∫ 0 3 ∫ 0 2 y e - x y d y

= ∫ 0 3 ∫ 0 2 y e - x y - y 0 2 d y           d e s d e   ∫ e a x d x = 1 a e a x

= ∫ 0 3 - e - x y 0 2 d y

Passo 3

= ∫ 0 3 ( - e - 2 y + 1 ) d y

= 1 2 e - 2 y + y

= - 1 6 e - 6 + 3 - 1 2

= 1 2 ( e - 6 + 5 )

Resposta

Portanto,

∬ R y e - x y d A = e - 6 2 + 5 2

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